Dérivation

Nombre dérivée

Definition

$f$ est une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$ tel que $ a \in I$.
On dit que $f$ est dérivable si et seulement si le taux d' accroissement $ \frac{f(x)-f(a)}{x-a} $ tend vers un nombre réel $L$ lorsque $x$ tend vers $a$.
Ce nombre L est appelé nombre dérivé et noté $f^{\prime}(x)=L$.

$$ f^{\prime}(a) = \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} $$

Tangente

Definition

$f$ est une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$ tel que $a \in I$ et $f$ est dérivable en $a$. $\mathscr{C}_f$ est la courbe représentative de $f$.
La droite qui passe par le point $A \left( a; f(a) \right)$ et de pente $f^{\prime}(a)$ est appelée tangente $t_A$ à $\mathscr{C}_f$ au point $A$.

Théorème

Notons $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative d'une fonction $f$ dérivable en $a$ et $t_A$ la tangente à $\mathscr{C}_f$ au point $A$ d'abscisse $a$.
Alors $t_A$ a pour équation :

$$ t_A : y = f^{\prime}(a)(x-a) + f(a)$$

Fonctions dérivées

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$. On dit que $f$ est dérivable sur $I$, si elle est dérivable en tout nombre $a \in I$. Alors la fonction:

$$ f^{\prime}\colon x\longmapsto f^{\prime}\left( x \right) $$

est appelée la fonction dérivée de $f$.

Dérivées des fonctions

Voici les démonstrations des fonctions dérivées.
Ces dérivées sont aussi résument dans ce tableau.

Sense de variation

Théorème

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.

• Si $f^{\prime}$ est négative sur $I$, alors $f$ est décroissante sur $I$.

• Si $f^{\prime}$ est nulle sur $I$, alors $f$ est constante sur $I$.

• Si $f^{\prime}$ est positive sur $I$, alors $f$ est croissante sur $I$.

Extremums d'une fonction

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.

• $f(a)$ est le minimum de $f$ sur $I$ si $\forall x \in I : f(x) \geqslant f(a)$

• $f(a)$ est le maximum de $f$ sur $I$ si $\forall x \in I : f(x) \leqslant f(a)$

On dit que $f$ admet un extremum sur $I$ si $f$ admet un minimum ou un maximum sur $I$.

Extremums locales

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $c \in I$

• $f$ admet un minimum local en $c$, s'il existe un intervalle ouvert $]a;b[\subset I$ et contenant $c$ tel que $\forall x \in ]a;b[ : f(x) \geqslant f(c)$

• $f$ admet un maximum local en $c$, s'il existe un intervalle ouvert $]a;b[\subset I$ et contenant $c$ tel que $\forall x \in ]a;b[ : f(x) \leqslant f(c)$

Théorème

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et $c \in I$. Si $f$ admet un extremum locale en $c$, alors $f^{\prime}(c) = 0$. Cela signifie que la tangente à la courbe au point de coordonnées $\left( c; f(c) \right)$ est horizontale.

Remarque

La réciproque de ce théorème est fausse.