Démonstrations des fonctions dérivées
Dérivée de la fonction constante
Théorème
La fonction constante $f$ définie sur $D_f = \mathbb{R}$ et par $f(x) = k$ $\left( k \in \mathbb{R} \right)$ est dérivable sur $D_{f^{\prime}}$ et
$$f^{\prime}(x) = 0$$Démonstration
Soit $a \in \mathbb{R}$ et la fonction constante $f$ définie sur $D_f = \mathbb{R}$ et par $f(x) = k$.
$$\lim_{x\rightarrow a} \frac{f\left( x \right) -f\left( a \right)}{x- a} =\lim_{x \rightarrow a} \frac{k - k}{x- a}$$ $$ =\lim_{x \rightarrow a} \frac{0}{x- a}$$ $$=0 $$cqfd.
Dérivée de la fonction affine
Théorème
La fonction affine $f$ définie sur $D_f = \mathbb{R}$ par $f(x) = mx + p$, avec $m,p \in \mathbb{R}$ est dérivable sur $D_f = \mathbb{R}$ est:
$$ f^{\prime}(x) = m $$Démonstration
Soit $a \in \mathbb{R}$ et la fonction affine $f$ définie sur $D_f = \mathbb{R}$ par $f(x) = mx + p$, avec $m,p \in \mathbb{R}$:
$$\lim_{x\rightarrow a} \frac{f\left( x \right) -f\left( a \right)}{x- a} =\lim_{x\rightarrow a} \frac{mx+p - \left( ma + p \right)}{x- a}$$ $$=\lim_{x\rightarrow a} \frac{mx+p - ma - p }{x- a}$$ $$=\lim_{x\rightarrow a} \frac{m x - ma }{x- a}$$ $$=\lim_{x\rightarrow a} \frac{m \left( x - a \right)}{x- a}$$ $$ = a$$cqfd.
Dérivée de la fonction carré
Théorème
La fonction carré $f$ définie sur $D_f = \mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et
$$f'(x)=2x.$$Démonstration
$$ \lim_{x\to a} \frac{x^2-a^2}{x-a} =\lim_{x\to a} \frac{(x-a)(x+a)}{x-a} =\lim_{x\to a}(x+a) =2a. $$cqfd.
Dérivée de la fonction inverse
Théorème
La fonction inverse $f$ définie sur $D_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ par $f(x)=\frac1x$ est dérivable sur $D_f$ et
$$f'(x)=-\frac1{x^2}.$$Démonstration
$$ \lim_{x\to a} \frac{\frac1x-\frac1a}{x-a} =\lim_{x\to a} \frac{a-x}{ax(x-a)} =\lim_{x\to a} \biggl(-\frac1{ax}\biggr) =-\frac1{a^2}. $$cqfd.
Dérivée de la fonction racine carrée
Théorème
La fonction racine carrée $f$ définie sur $D_f=\mathbb{R}_+$ par $f(x)=\sqrt{x}$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$ et
$$f'(x)=\frac1{2\sqrt{x}}.$$Démonstration
$$ \lim_{x\to a} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a} =\lim_{x\to a} \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{a})(\sqrt{x}+\sqrt{a})}{(x-a)(\sqrt{x}+\sqrt{a})} $$ $$=\lim_{x\to a} \frac{x-a}{(x-a)(\sqrt{x}+\sqrt{a})}$$ $$ =\lim_{x\to a} \frac1{\sqrt{x}+\sqrt{a}}$$ $$ =\frac1{2\sqrt{a}}. $$cqfd.
Dérivée de la fonction sinus
Théorème
La fonction sinus $f$ définie sur $D_f=\mathbb{R}$ par $f(x)=\sin(x)$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et
$$f'(x)=\cos(x).$$Démonstration
$$ \lim_{h\to0} \frac{\sin(a+h)-\sin(a)}{h} =\lim_{h\to0} \frac{\sin(a)\cos(h)+\cos(a)\sin(h)-\sin(a)}{h} $$ $$=\sin(a)\underbrace{\lim_{h\to0}\frac{\cos(h)-1}{h}}_{0}+\cos(a)\underbrace{\lim_{h\to0}\frac{\sin(h)}{h}}_{1} $$ $$=\cos(a). $$cqfd.
Dérivée de la fonction cosinus
Théorème
La fonction cosinus $f$ définie sur $D_f=\mathbb{R}$ par $f(x)=\cos(x)$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et
$$f'(x)=-\sin(x).$$Démonstration
$$ \lim_{h\to0} \frac{\cos(a+h)-\cos(a)}{h} =\lim_{h\to0} \frac{\cos(a)\cos(h)-\sin(a)\sin(h)-\cos(a)}{h} $$ $$ =\cos(a) \cdot \underbrace{\lim_{h\to0}\frac{\cos(h)-1}{h}}_{0}-\sin(a) \cdot \underbrace{\lim_{h\to0}\frac{\sin(h)}{h}}_{1} $$ $$=-\sin(a). $$cqfd.
Dérivée de la fonction tangente
Théorème
La fonction tangente $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{\tfrac{\pi}{2}+k\pi\}$ par $f(x)=\tan(x)$ est dérivable sur son domaine et
$$f'(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}.$$Démonstration
$$ f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{\tan(a+h)-\tan(a)}{h} $$ $$ =\lim_{h\to0}\frac{\frac{\sin(a+h)}{\cos(a+h)}-\frac{\sin(a)}{\cos(a)}}{h}.$$Regroupons en un seul quotient:
$$ =\lim_{h\to0}\frac{\sin(a+h)\cos(a)-\sin(a)\cos(a+h)}{h\,\cos(a+h)\cos(a)}. $$Or, par l'identité trigonométrique:
$$ \sin(a+h)\cos(a)-\sin(a)\cos(a+h)=\sin(h). $$D'où
$$ f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{\sin(h)}{h}\cdot\frac{1}{\cos(a+h)\cos(a)} $$ $$=1\cdot\frac{1}{\cos^2(a)}$$ $$=\frac{1}{\cos^2(a)}. $$cqfd.
Dérivée de la fonction exponentielle
Théorème
La fonction $f(x)=e^x$ définie sur $\mathbb{R}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et
$$f'(x)=e^x.$$Démonstration
$$ f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{e^{a+h}-e^a}{h} =\lim_{h\to0}\frac{e^a(e^h-1)}{h} =e^a\lim_{h\to0}\frac{e^h-1}{h} =e^a\cdot1 =e^a. $$cqfd.
Dérivée de la fonction exponentielle de base $a$
Théorème
Pour $a>0$, la fonction $f(x)=a^x$ définie sur $\mathbb{R}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et
$$f'(x)=a^x\ln(a).$$Démonstration
$$ f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{a^{a+h}-a^a}{h} $$ $$=\lim_{h\to0}\frac{a^a(a^h-1)}{h} $$ $$ =a^a\lim_{h\to0}\frac{a^h-1}{h}$$ $$ =a^a\ln(a). $$cqfd.
Dérivée de la fonction logarithme népérien
Théorème
La fonction $f(x)=\ln(x)$ définie sur $\mathbb{R}_+^*$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$ et
$$f'(x)=\frac{1}{x}.$$Démonstration
$$ f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{\ln(a+h)-\ln(a)}{h} $$ $$=\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\ln\Bigl(1+\frac{h}{a}\Bigr) $$ $$=\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\cdot\frac{h}{a}\underbrace{\frac{\ln(1+\frac{h}{a})}{\frac{h}{a}}}_{\to1}$$ $$ =\frac{1}{a} $$cqfd.
Dérivée de la fonction logarithme en base a
Théorème
La fonction \(f(x)=\log_a(x)\), définie sur $\mathbb{R}_+^*$ pour \(a>0, a\neq1\), est dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$ et
$$ f'(x)=\frac{1}{x\ln(a)}. $$Démonstration
$$ f'(a) =\lim_{h\to0}\frac{\log_a(a+h)-\log_a(a)}{h} $$ $$=\lim_{h\to0}\frac{1}{h} \left(\frac{\ln(a+h)}{\ln(a)}-\frac{\ln(a)}{\ln(a)}\right) $$ $$=\frac{1}{\ln(a)}\lim_{h\to0}\frac{\ln\bigl(a+h\bigr)-\ln(a)}{h}$$ $$ =\frac{1}{\ln(a)}\cdot\frac{1}{a}$$ $$ =\frac{1}{a\,\ln(a)}. $$cqfd.
Dérivée de sinus hyperboliques
Théorème
La fonction $f(x)=\sinh(x)$ définie sur $\mathbb{R}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et
$$f'(x)=\cosh(x).$$Démonstration
$$ f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{\sinh(a+h)-\sinh(a)}{h}$$ $$ =\lim_{h\to0}\frac{\sinh(a)\cosh(h)+\cosh(a)\sinh(h)-\sinh(a)}{h} $$ $$ =\sinh(a)\underbrace{\lim_{h\to0}\frac{\cosh(h)-1}{h}}_{0} +\cosh(a)\underbrace{\lim_{h\to0}\frac{\sinh(h)}{h}}_{1}$$ $$ =\cosh(a). $$cqfd.
Dérivée de cosinus hyperboliques
Théorème
La fonction $f(x)=\cosh(x)$ définie sur $\mathbb{R}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et
$$f'(x)=\sinh(x).$$Démonstration
$$ f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{\cosh(a+h)-\cosh(a)}{h} $$ $$ =\lim_{h\to0}\frac{\cosh(a)\cosh(h)+\sinh(a)\sinh(h)-\cosh(a)}{h} $$ $$ =\cosh(a)\underbrace{\lim_{h\to0}\frac{\cosh(h)-1}{h}}_{0} +\sinh(a)\underbrace{\lim_{h\to0}\frac{\sinh(h)}{h}}_{1}$$ $$ =\sinh(a). $$cqfd.
Théorème
La fonction $f(x)=\tanh(x)=\dfrac{\sinh(x)}{\cosh(x)}$ définie sur $\mathbb{R}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et
$$f'(x)=\frac1{\cosh^2(x)}.$$Démonstration
$$ f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{\tanh(a+h)-\tanh(a)}{h} $$ $$ =\lim_{h\to0}\frac{\frac{\sinh(a+h)}{\cosh(a+h)}-\frac{\sinh(a)}{\cosh(a)}}{h} $$ $$ =\lim_{h\to0}\frac{\sinh(a+h)\,\cosh(a)-\sinh(a)\,\cosh(a+h)}{h\,\cosh(a+h)\cosh(a)}. $$Or, par les formules d'addition :
$$ \sinh(a+h)\cosh(a)-\sinh(a)\cosh(a+h)=\sinh(h). $$D'où
$$ f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{\sinh(h)}{h}\,\frac{1}{\cosh(a+h)\cosh(a)}$$ $$ =1\cdot\frac{1}{\cosh^2(a)} $$ $$ =\frac{1}{\cosh^2(a)}. $$cqfd.