Démonstrations des fonctions dérivées
Dérivée de la fonction constante
Théorème
La fonction constante $f$ définie sur $D_f = \mathbb{R}$ et par $f(x) = k$ $\left( k \in \mathbb{R} \right)$ est dérivable sur $D_{f^{\prime}}$ et
$$f^{\prime}(x) = 0$$Démonstration
Soit $a \in \mathbb{R}$ et la fonction constante $f$ définie sur $D_f = \mathbb{R}$ et par $f(x) = k$.
$$\lim_{x\rightarrow a} \frac{f\left( x \right) -f\left( a \right)}{x- a} =\lim_{x \rightarrow a} \frac{k - k}{x- a}$$ $$ =\lim_{x \rightarrow a} \frac{0}{x- a}$$ $$=0 $$cqfd.
Dérivée de la fonction affine
Théorème
La fonction affine $f$ définie sur $D_f = \mathbb{R}$ par $f(x) = mx + p$, avec $m,p \in \mathbb{R}$ est dérivable sur $D_f = \mathbb{R}$ est:
$$ f^{\prime}(x) = m $$Démonstration
Soit $a \in \mathbb{R}$ et la fonction affine $f$ définie sur $D_f = \mathbb{R}$ par $f(x) = mx + p$, avec $m,p \in \mathbb{R}$:
$$\lim_{x\rightarrow a} \frac{f\left( x \right) -f\left( a \right)}{x- a} =\lim_{x\rightarrow a} \frac{mx+p - \left( ma + p \right)}{x- a}$$ $$=\lim_{x\rightarrow a} \frac{mx+p - ma - p }{x- a}$$ $$=\lim_{x\rightarrow a} \frac{m x - ma }{x- a}$$ $$ = a$$ $$=\lim_{x\rightarrow a} \frac{m \left( x - a \right)}{x- a}$$ $$ = a$$cqfd.
Dérivée de la fonction carré
Théorème
La fonction carré $f$ définie sur $D_f = \mathbb{R}$ par $f(x) = x^2$ est dérivable sur $D_{f^{\prime}}$ :
$$ f^{\prime}(x) = 2x $$