Fonctions-Dérivées

Tableau Fonctions-Dérivées

$$f\left( x\right)$$ $$D_{f}$$ $$f^{\prime }\left( x\right)$$ $$D_{f^{\prime }}$$
$$k\ (constante)$$ $$\mathbb{R}$$ $$0$$ $$\mathbb{R}$$
$$x$$ $$\mathbb{R}$$ $$1$$ $$\mathbb{R}$$
$$ax+b$$ $$\mathbb{R}$$ $$a$$ $$\mathbb{R}$$
$$x^{2}$$ $$\mathbb{R}$$ $$2x$$ $$\mathbb{R}$$
$$\frac{1}{x}$$ $$\mathbb{R}^{\ast}$$ $$-\frac{1}{x^{2}} $$ $$\mathbb{R}^{\ast}$$
$$\sqrt{x} $$ $$\mathbb{R}_{+}$$ $$\frac{1}{2\sqrt{x} } $$ $$\mathbb{R}^{\ast }_{+}$$
$$x^{n}\ avec\ n\in \mathbb{N}\ et\ n>1$$ $$\mathbb{R}$$ $$nx^{x-1}$$ $$\mathbb{R}$$
$$\sin \left( x\right)$$ $$\mathbb{R}$$ $$\cos \left( x\right)$$ $$\mathbb{R}$$
$$\cos \left( x\right)$$ $$\mathbb{R}$$ $$-\sin \left( x\right)$$ $$\mathbb{R}$$
$$-\sin \left( x\right)$$ $$\mathbb{R}$$ $$-\cos \left( x\right)$$ $$\mathbb{R}$$
$$-\cos \left( x\right)$$ $$\mathbb{R}$$ $$\sin \left( x\right)$$ $$\mathbb{R}$$
$$\tan \left( x\right)$$ $$\mathbb{R} \backslash \left( \frac{π }{2} \ mod\ 2π \right) $$ $$\frac{1}{\cos^{2} \left( x\right) } =1+\tan^{2} \left( x\right) $$ $$\mathbb{R} \backslash \left( \frac{π }{2} \ mod\ 2π \right) $$
$$ e^{x} $$ $$\mathbb{R}$$ $$ e^{x} $$ $$\mathbb{R}$$
$$ \ln(x)$$ $$\mathbb{R}^{*}_{+}$$ $$\frac{1}{x}$$ $$\mathbb{R}^{*}_{+}$$
$$u\left( x\right) +v\left( x\right) $$ $$D_{u}\cap D_{v}$$ $$u^{\prime }\left( x\right) +v^{\prime }\left( x\right) $$ $$D_{u^{\prime }}\cap D_{v^{\prime }}$$
$$u\left( x\right) -v\left( x\right) $$ $$D_{u}\cap D_{v}$$ $$u^{\prime }\left( x\right) -v^{\prime }\left( x\right) $$ $$D_{u^{\prime }}\cap D_{v^{\prime }}$$
$$k\cdot u(x)\ avec\ k\in \mathbb{R}$$ $$D_{u}$$ $$k\cdot u^{\prime }(x)$$ $$D_{u^{\prime }}$$
$$u(x)\cdot v(x)$$ $$D_{u}\cap D_{v}$$ $$u^{\prime }(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^{\prime }(x)$$ $$D_{u^{\prime }}\cap D_{v^{\prime }}$$
$$\frac{1}{u\left( x\right) } $$ $$D_{u} \backslash \{ x|u(x)=0\} $$ $$-\frac{u^{\prime }\left( x\right) }{u^{2}\left( x\right) } $$ $$D_{u^{\prime }} \backslash \{ x|u(x)=0\} $$
$$\frac{u\left( x\right) }{v\left( x\right) } $$ $$D_{v}\cap D_{u} \backslash \{ x|u(x)=0\} $$ $$\frac{u^{\prime }\left( x\right) v\left( x\right) -u\left( x\right) v^{\prime }\left( x\right) }{v^{2}\left( x\right) } $$ $$D_{v^{\prime }}\cap D_{u^{\prime }} \backslash \{ x|u(x)=0\} $$
$$v(u\left( x\right) )=\left( v\circ u\left( x\right) \right) $$ $$D_{u}\cap \left\{ x|v\left( x\right) \in D_{v}\right\} $$ $$v^{\prime }\left( u\left( x\right) \right) \cdot u^{\prime }\left( x\right) $$ $$D_{u^{\prime }}\cap \left\{ x|v\left( x\right) \in D_{v^{\prime }}\right\} $$

Cas particuliers

$$Nom$$ $$f(x)$$ $$f^{\prime}(x)$$
$$ fonction\ puissance$$ $$ f\left( x\right) =\left[ u\left( x\right) \right]^{n} $$ $$ f^{\prime }\left( x\right) =n\left[ u\left( x\right) \right]^{n-1} \cdot u^{\prime }\left( x\right) $$
$$ fonction\ racine\ carrée $$ $$ f\left( x\right) =\sqrt{u\left( x\right) } $$ $$ f^{\prime }\left( x\right) =\frac{u^{\prime }\left( x\right) }{2\sqrt{u\left( x\right) } } $$
$$ fonction\ sinus $$ $$ f\left( x\right) =\sin \left[ u\left( x\right) \right] $$ $$ f^{\prime}\left( x\right) =\cos \left[ u\left( x\right) \right] \cdot u^{\prime }(x) $$
$$ fonction\ arcsinus $$ $$ f\left( x\right) =\sin^{-1} (x) $$ $$ f^{\prime}\left( x\right) = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}} } $$
$$fonction\ cosinus$$ $$f\left( x\right) =\cos \left[ u\left( x\right) \right] $$ $$ f^{\prime }\left( x\right) =-\sin \left[ u\left( x\right) \right] \cdot u^{\prime }\left( x\right) $$
$$ fonction\ arccosinus $$ $$ f\left( x\right) =\cos^{-1} (x) $$ $$ f^{\prime}\left( x\right) = - \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}} } $$
$$ fonction\ tangente$$ $$ f\left( x\right) =\tan \left[ u\left( x\right) \right] $$ $$ f^{\prime }\left( x\right) =\frac{u^{\prime }\left( x\right) }{\cos^{2} \left[ u\left( x\right) \right] } =\left\{ 1+\tan^{2} \left[ u\left( x\right) \right] \right\} \cdot u^{\prime }\left( x\right) $$
$$ fonction\ arctangente $$ $$ f\left( x\right) =\tan^{-1} (x) $$ $$ f^{\prime}\left( x\right) = \frac{1}{1+x^{2}} $$
$$ fonction\ exponentielle$$ $$ f\left( x\right) =e^{u\left( x\right) } $$ $$ f^{\prime }\left( x\right) =e^{u\left( x\right) }\cdot u^{\prime }\left( x\right) $$
$$ fonction\ logarithme$$ $$ f\left( x\right) =\ln \left [ u\left( x\right) \right] $$ $$f^{\prime }\left( x\right) =\frac{u^{\prime }\left( x\right) }{u\left( x\right) } $$