Intégration

Notation

Définition

$f$ est une fonction continue et positive sur un intervalle $[a ; b]$. On appelle intégrale de $f$ sur $[a ; b]$ le nombre qui exprime l'aire, en unités d'aire notée: u.a., du domaine $\mathscr{D}$ délimité par la courbe $\mathscr{C}f$ de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = a$ et $x = b$.
On note:

$$ \int^{b}_{a} f\left( x\right) dx = A(\mathscr{D}) $$

Remarques

  1. Dans la notation $ \int^{b}_{a} f\left( x\right) dx $

    • $a$ et $b$ sont les bornes de l 'intégrale

    • la variable x est dite « muette », autrement dit, elle n'intervient pas dans le résultat et on peut noter indifféremment :

      $$ \int^b_a f(x)dx = \int^b_a f(t)dt$$

  2. $ \int^b_a f(x)dx$ se lit «somme de $a$ à $b$ de $f(x)dx$» ou «intégrale de $a$ à $b$ de $f(x)dx$»

Théorème

Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a; b]$. La fonction $\Phi$ définie sur $[a ; b]$ par

$$ \Phi(x) = \int^x_a f(t)dt $$

est dérivable sur $[a; b]$ et $\Phi^{\prime} = f$.

Primitives d'une fonction continue

Définition

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. On appelle primitive de $f$ sur $I$ toute fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que $F^{\prime} = f$.

Théorème

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et soit $\Phi$ une primitive de $f$ sur $I$. Alors $f$ admet une infinité de primitives sur $I$ qui sont toutes de la forme:

$$ F(x) = \Phi + C $$

avec $C \in \mathbb{R}$

Conséquences

  1. Calcul de l'intégrale d'une fonction $f$ continue et positive sur $[a ; b]$

    Nous savons que la fonction $\Phi$ définie par

    $$ \Phi(x) = \int^x_a f(t)dt$$

    est une primitive de $f$ sur $[a ; b]$.

    On peut calculer l'intégrale $\int^a_b f(t)dt$ , si on connaît une primitive quelconque $F$ de $f$.
    En effet, il existe une constante $C$ telle que pour tout $x\in [a;b] : F(x) = \Phi(x) + C$
    Ansi:

    $$ F(a) = \Phi(a) + C $$ $$\Leftrightarrow F(a) = \int^a_a f(t)dt + C$$ $$\Leftrightarrow F(a) = 0+ C$$ $$\Leftrightarrow F(a) = C$$

    De plus:

    $$ F(a) = \Phi(b) + C $$ $$\Leftrightarrow \Phi(b) = F(b) - C$$ $$\Leftrightarrow \Phi(b) = F(b) - F(a)$$

    Donc:

    $$ \int^b_af(t)dt = F(b) - F(a) $$

  2. Primitive avec condition initiale

    Si $f$ admet des primitives sur $I$, alors pour tout nombre $x_0$ de $I$ et tout nombre $y_0$, il existe une primitive et une seule $F$ de $f$ qui vérifie la condition initiale $F(x_0) = y_0$.

Théorème

Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$.

Calculs de primitives

Tableau

Voici le tableau des primitives de fonctions.

Théorème

Si $F$ et $G$ sont des primitives respectivement des fonctions $f$ et $g$ sur un intervalle $I$ et si $k$ est un nombre réel, alors

  1. $F + G$ est une primitive de $f + g$ sur $I$

  2. $kF$ est une primitive de $kf$ sur $I$.

Intégrale d'une fonction continue

Soient $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, $F$ une primitive de $f$ sur $I$ et $a$ et $b$ deux réels quelconques de $I$.

L'intégrale de $f$ entre $a$ et $b$ est le nombre : $$ \int^{b}_{a} f\left( t\right) dt=\left[ F\left( t\right) \right]^{b}_{a} =F\left( b\right) -F\left( a\right) $$

Théorème

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$, soit $\alpha \in \mathbb{R}$ et soient $a,b \in I$ :

  1. $$ \int^{b}_{a} \left[ f\left( x\right) +g\left( x\right) \right] dx=\int^{b}_{a} f\left( x\right) dx+\int^{b}_{a} g\left( x\right) dx $$
  2. $$ \int^{b}_{a} \alpha \cdot f\left( x\right) dx=\alpha \int^{b}_{a} f\left( x\right) dx $$

Relation de Chasles

Théorème

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. Pour tous réels $a$, $b$ et $c$ de $I$, on a :

$$ \int^{b}_{a} f\left( x\right) dx+\int^{b}_{c} f\left( x\right) dx=\int^{c}_{a} f\left( x\right) dx $$

Théorème de positivité

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et soient $a,b \in I$ tels que $a \leqslant b$ :

  1. Si $f$ est positive sur $I$, alors:

    $$ \int^{b}_{a} f\left( x\right) dx\geqslant 0 $$

  2. Si $f$ est négative sur $I$, alors:

    $$ \int^{b}_{a} f\left( x\right) dx\leqslant 0 $$

Théorème d'ordre

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$ et soient $a,b \in I$ tels que $a \leqslant b$. Si $f \leqslant g$ sur $I$, alors:

$$ \int^{b}_{a} f\left( x\right) dx\leqslant \int^{b}_{a} g\left( x\right) dx $$

Intégration par parties

Théorème

Soient $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle $I$ et $a,b \in I$:

$$ \int^{b}_{a} u\left( x\right) v^{\prime }\left( x\right) dx=\left[ u\left( x\right) v\left( x\right) \right]^{b}_{a} -\int^{b}_{a} u^{\prime }\left( x\right) v\left( x\right) dx $$

Démonstration

$\forall x \in I$

$$ \left( u\left( x\right) v\left( x\right) \right)^{\prime } =u^{\prime }\left( x\right) v\left( x\right) +u\left( x\right) v^{\prime }\left( x\right) $$ $$ \Leftrightarrow u\left( x\right) v^{\prime }\left( x\right) =(u\left( x\right) v\left( x\right) )^{\prime }-u^{\prime }\left( x\right) v\left( x\right) $$

donc

$$ \Leftrightarrow \int^{b}_{a} u\left( x\right) v^{\prime }\left( x\right) dx=\int^{b}_{a} [(u\left( x\right) v\left( x\right) )^{\prime }-u^{\prime }\left( x\right) v\left( x\right) ]dx $$ $$ \Leftrightarrow \int^{b}_{a} u\left( x\right) v^{\prime }\left( x\right) dx=\int^{b}_{a} \left[ u\left( x\right) v\left( x\right) \right]^{\prime } dx-\int^{b}_{a} u^{\prime }\left( x\right) v\left( x\right) dx $$ $$ \Leftrightarrow \int^{b}_{a} u\left( x\right) v^{\prime }\left( x\right) dx=\left[ u\left( x\right) v\left( x\right) \right]^{b}_{a} -\int^{b}_{a} u^{\prime }\left( x\right) v\left( x\right) dx$$

Calcul d'aires

Définition:

$f$ est une fonction continue et négative sur un intervalle $[a ; b]$. On appelle intégrale de $f$ sur $[a ; b]$ l'opposé de l'aire, en unités d'aire notée : u.a., du domaine $\mathscr{D}$ délimité par la courbe $\mathscr{C}_f$ de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = a$ et $x = b$.
On note:

$$ \int^{b}_{a} f\left( x\right) dx=-A\left( \mathscr{D} \right) $$

Théorème

Si $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de $\mathscr{C}_g$ sur $[a ; b]$, alors du domaine $\mathscr{D}$ délimité par $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ sur $[a ; b]$ est donnée par:

$$ A\left( \mathscr{D} \right) =\int^{b}_{a} \left( f\left( x\right) -g\left( x\right) \right) dx $$