Schwingungen
Definition
Eine mechanische Schwingung ist die periodische Bewegung eines Körpers um seine Ruhelage.
Rücktreibende Kraft
Schwingungen werden durch eine stets zur Ruhelage hin wirkende Kraft verursacht. Diese Kraft wird als rücktreibende Kraft bezeichnet.
Schwingungsdauer
Die Periodendauer oder Schwingungsdauer \( T \) ist die zeitliche Dauer einer vollständigen Schwingung.
$$T=\frac{t}{n} $$Einheit
$$\left[ T\right] =1s$$Frequenz
Die Frequenz \( f \) gibt an, wie oft ein Körper in einer Sekunde hin und her schwingt.
$$f=\frac{1}{T}$$Einheit
$$\left[ f\right] =1Hz$$Elongation
Die Elongation oder momentane Auslenkung \( y(t) \) gibt an, wie weit der schwingende Körper zu einem bestimmten Zeitpunkt von seiner Ruhelage entfernt ist.
$$y\left( t\right) =y_{max}\cdot sin\left( \omega t+\varphi_{0} \right)$$Einheit
$$\left[ y\left( t\right) \right] =m$$Amplitude
Die Amplitude \( y_{max}\) ist der gröβte Abstand des schwingenden Körpers von der Ruhelage.
Einheit
$$\left[ y_{max}\right] =m$$Harmonische Schwingung
Eine Schwingung bei der die Elongation \( y \) in Abhängigkeit der Zeit \( t \) eine Sinuskurve ergibt, bezeichnet man als Harmonische Schwingung oder Sinusschwingung.
Rücktreibende Kraft:
$$\overrightarrow{F} =-D\cdot \overrightarrow{y} $$Phasenwinkel
Der Winkel \( \varphi \), den der Radiusvektor zu einem bestimmten Zeitpunkt \( t \) mit der positiven x-Achse einschlieβt heiβt Phasenwinkel oder Phase der Schwingung. Die Phase kennzeichnet den augenblicklichen Schwingungszustand.
$$\varphi_{0} =\omega t$$Einheit
$$\left[ \varphi_{0} \right] =rad$$\( y(t) \) - \( t \) - Gesetz
Eine lineare Schwingung, die mit der Projektion einer gleichförmigen Kreisbewegung übereinstimmt heiβt harmonische Schwingung oder Sinusschwingung.
$$y\left( t\right) =y_{max}\sin \left( \omega t+\varphi_{0} \right) $$Kreisfrequenz
$$\omega =2\pi f$$ $$\omega =\frac{2\pi }{T} $$Einheit
$$\left[ \omega \right] =\frac{rad}{s} $$Auslenkung y, Geschwindigkeit v und Beschleunigung a
$$y\left( t\right) =y_{max}\sin \left( \omega t\right) $$ $$\frac{d}{dt} y\left( t\right) \ =\ v(t)$$ $$v\left( t\right) =y_{max}\omega \cos \left( \omega t\right) $$ $$\frac{d}{dt} v\left( t\right) =a\left( t\right) $$ $$a\left( t\right) =-\omega^{2} y_{max}\sin \left( \omega t\right) $$Richtgröβe
Die Richtgröβe entspricht der Federkonstante des Hooke'schen Gesetzes.
Einheit
$$ [D] = \frac{N}{m}$$Formeln
$$D=m\omega^{2} $$ $$D=\frac{m\cdot g}{l} $$Phasendifferenz
Definition
Die Phasendifferenz zweier Schwingungen gleicher Frequenz ist der Phasenwinkel \( \Delta \varphi \), um den beide Schwingungen verschoben sind. \( \Delta \varphi \) entspricht der Zeitdifferenz: \( \Delta t = \frac{\Delta \varphi}{\omega} \)
Fadenpendel
Herleitung
Bei einem Fadenpendel ist die rücktreibende Kraft \( \overrightarrow{F_r} \) tangential zum Kreisbogen und zur Elongation \( y \), die in endgegengerichte. Sie ist gleich der Resultierenden aus der Gewichtskraft \( \overrightarrow{F_G} \) des anhängenden Körpers und der in Richtung des Fadens wirkende Spannkraft \( \overrightarrow{F_x} \):
$$ \overrightarrow{F_r} = \overrightarrow{F_G} + \overrightarrow{F_x} $$Projektion auf \( (Ox) \):
$$ F_r = -F_G \cdot \sin(\alpha)$$Mit \( y = l \cdot \alpha\) (\( \alpha \) in Bogenmaβ) wird die vorherige Gleichung zu:
$$ \frac{F_r}{y} = - \frac{F_G}{l} \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\alpha} $$Bei Kleinwinkelnäherung: \( \frac{\sin(\alpha)}{\alpha} = 1 \)
$$ F_r = - \frac{F_G}{l} \cdot y = - \frac{m \cdot g}{l} \cdot y$$Mit: \( D = \frac{m \cdot g}{l} \)
$$ F_r = - D \cdot y$$Für kleine Winkel \( \alpha \) ist die rücktreibende Kraft \( F_r \), der Elongation \( y \) proportional, sodass die Schwingung des Fadenpendels harmonisch ist. Mit der Formel für die Dauer einer harmonischen Schwingung folgt:
$$ T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{D}} = 2 \pi \sqrt{\frac{m \cdot l}{m \cdot g}} = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{ g}} $$Gültigkeitsbedingungen
Die gefundene Formel gilt nur:
-
für kleine Auslenkungen.
-
wenn die Masse des Fadens gegenüber des Pendelkörpers vernachlässigt werden kann.
-
wenn die Pendelmasse als punktförmig angenommen wird.
Formel
$$ T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{ g}} $$Federpendel
Herleitung
Durch Anhängen des schwingenden Körpers mit der Masse \( m \) wird die
Feder um die Strecke \( s_0 \) verlängert. Nach dem Hooke'schen Gesetz
ist die Verlängerung \( \overrightarrow{s_0} \) innerhalb der
Elastizitätsgrenzen der Schraubenfeder direkt proportional zur
Federkraft $$ \overrightarrow{F_{F,0}}\ :\ \overrightarrow{F_{F,0}} = -D
\cdot \overrightarrow{s_0}$$ , wobei \( D \) die Federkonstante der
Schraubenfeder ist.
Projektion auf \( (Oy) \) :
An dem schwingenden Körper wirken seine Gewichtskraft \( \overrightarrow{F_G} \) und die Federkraft \( \overrightarrow{F_F} \). In der Ruhelage gilt Kräftegleichgewicht und somit:
$$ \overrightarrow{F_G} + \overrightarrow{F_{F, 0}} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{F_{F, 0}} = - \overrightarrow{F_G} $$Projektion auf \( (Oy) \) :
$$ F_{F, 0, y} = - F_G\ (2)$$Aus \( (1) \) und \( (2) \) erhalten wir:
$$ F_G = D \cdot s_0\ (3) $$Wird die Feder ausgelenkt, herrscht kein Kräftegleichgewicht und die Resultierende der beiden wirkenden Kräfte ist gleich der rücktreibenden Kraft
$$ \overrightarrow{F_r}\ :\ \overrightarrow{F_r} = \overrightarrow{F_F} + \overrightarrow{F_G} $$
Projektion auf \( (Oy) \) :
\( F_{F, y} = - F_F \) und \( F_{G, y} = - F_G \)
Die Feder wurde dann insgesamt um \( y + s_0 \) gedehnt. Es gilt:
$$ F_F = -D \cdot (s_0 + y)\ (4)$$
Somit erhalten wir: \( F_{r, y}= -F_F + F_G \)
Mit \( (3) \) und \( (4) \):
Für die rücktreibende Kraft \( F_r \) beim Fadenpendel gilt ebenfalls ein lineares Kraftgesetz.
Gültigkeitsbedingungen
Die Gefundene Formel gilt nur wenn:
-
die Periodendauer unabhängig von der Amplitude \( y_{max} \) der Schwingung ist.
-
die Periodendauer direkt proportional zu der Quadratwurzel aus Masse \( m \) des Pendelkörpers ist.
$$ T \sim m $$
(bei gleicher Federkonstante) -
die Periodendauer indirekt proportional zu der Quadratwurzel aus der Federkonstante \( D \) der Feder ist.
$$ T \sim \frac{1}{\sqrt{D}} $$
(bei gleicher Masse)