Doppler-Effekt

Bewegter Empfänger

• Empfänger $E$ nähert sich dem Sender $S$:

  Bewegt sich ein Empfänger mit einer Geschwindigkeit $v_E$ auf den Sender, der eine Welle mit der Frequenz $f$ und der Phasengeschwindigkeit $v_{ph}$ abstrahlt, zu, so erreichen ihn in einer bestimmten Zeit mehr Wellen als wenn er in Ruhe ware. Die Wellenlange $\lambda$ der Schallwellen in der Luft bleibt zwar konstant, jedoch ist die Geschwindigkeit relativ zum Empfänger jetzt $v_{ph} + v_E$. Die Frequenz der vom Empfänger registrierten Wellen wird damit:

  $$ f_E = \frac{v_{ph} + v_E}{\lambda} $$

  mit: $f = \frac{v_{ph}}{\lambda} \Leftrightarrow \frac{1}{\lambda} = \frac{f}{v_{ph}}$

  $$ \Leftrightarrow f_E = f \cdot \frac{v_{ph} + v_E}{v_{ph}}$$ $$\Leftrightarrow f_E = f \cdot \underbrace{\left( 1+\frac{v_{E}}{v_{ph}} \right) }_{>1} $$

  Die vom Empfänger registrierte Frequenz $f_E$ ist somit höher als die vom Sender ausgesendete Frequenz $f$.

• Empfänger $E$ entfernt sich dem Sender $S$:

  Bewegt sich ein Empfänger mit einer Geschwindigkeit $v_E$ von dem Sender, der eine Welle mit der Frequenz $f$ und der Phasengeschwindigkeit $v_{ph}$ abstrahlt, weg, so erreichen ihn in einer bestimmten Zeit weniger Wellen als wenn er in Ruhe wäre. Die Wellenlänge $\lambda$ der Schallwellen in der Luft bleibt zwar konstant, jedoch ist die Geschwindigkeit relativ zum Empfänger jetzt $ v_{ph} - v_E $. Die Frequenz der vom Empfänger registrierten Wellen wird damit:

  $$ f_E^{\prime} = \frac{v_{ph} - v_E}{\lambda} $$

  mit: $f = \frac{v_{ph}}{\lambda} \Leftrightarrow \frac{1}{\lambda} = \frac{f}{v_{ph}}$

  $$ \Leftrightarrow f_E^{\prime} = f \cdot \frac{v_{ph} - v_E}{v_{ph}}$$ $$\Leftrightarrow f_E^{\prime} = f \cdot \underbrace{\left( 1-\frac{v_{E}}{v_{ph}} \right) }_{< 1} $$

  Die vom Empfänger registrierte Frequenz $f_E^{\prime}$, ist somit niedriger als die vom Sender ausgesendete Frequenz $f$.

Ruhender Sender

• Sender $S$ nähert sich dem Empfänger $E$

  Nähert sich der Sender $S$, der eine Welle mit einer Frequenz $f$ und einer Phasengeschwindigkeit $v_{ph}$ aussendet, dem Empfänger $E$ mit einer Geschwindigkeit $v_s$, so legt er in der Zeit $t$, bei seiner Bewegung von $S_1$ nach $S_5$, die Strecke $v_s \cdot t$ zurück. Die Wellen die bei ruhendem Sender die Strecke $v_{ph} \cdot t$ einnehmen, verteilen sich nur noch auf die verkürzte Strecke $v_{ph} \cdot t - v_s \cdot t = \left( v_{ph} - v_s \right) \cdot t $. Daher hat sich die vom Empfänger wahrgenommene Wellenlange $\lambda_E$ verkürzt auf:

  $$ \frac{\lambda_E}{\lambda} = \frac{\left( v_{ph} - v_S \right) \cdot t}{v_{ph} \cdot t} $$ $$ \Leftrightarrow \lambda_E = \lambda \cdot \frac{v_{ph} - v_S}{v_{ph}} $$ $$ \Leftrightarrow \lambda_E = \lambda \cdot \underbrace{\left( 1 - \frac{v_S}{v_{ph}} \right)}_{< 1} $$

  Die vom Empfänger wahrgenommene Frequenz $f_E$ ist demnach höher als die ausgesendete Frequenz $f$:

  $$ f_E = \frac{v_{ph}}{\lambda_E} = \frac{v_{ph}}{\lambda \cdot \left( 1 - \frac{v_S}{v_{ph}} \right)} = f \cdot \frac{1}{ 1 - \frac{v_S}{v_{ph}}}$$

• Sender $S$ entfernt sich vom Empfänger $E$

  Entfernt sich der Sender $S$, der eine Welle mit einer Frequenz $f$ und einer Phasengeschwindigkeit $v_{ph}$ aussendet, vom Empfänger $E$ mit einer Geschwindigkeit $v_S$, so legt er in der Zeit $t$, bei seiner Bewegung von $S_1$ nach $S_5$, die Strecke $v_S \cdot t$ zurück. Die Wellen die bei ruhendem Sender die Strecke $v_{ph} \cdot t$ einnehmen, verteilen sich nun auf die verlängerte Strecke $v_{ph} \cdot t + v_S \cdot t = \left(v_{ph} + v_S \right) \cdot t $. Daher hat sich die vom Empfänger wahrgenommene Wellenlange $\lambda_E$ verlängert auf:

  $$ \frac{\lambda_E^{\prime}}{\lambda} = \frac{\left( v_{ph} + v_S \right) \cdot t}{v_{ph} \cdot t} $$ $$ \Leftrightarrow \lambda_E^{\prime} = \lambda \cdot \frac{v_{ph} + v_S}{v_{ph}} $$ $$ \Leftrightarrow \lambda_E^{\prime} = \lambda \cdot \underbrace{\left( 1 + \frac{v_S}{v_{ph}} \right)}_{>1} $$

  Die vom Empfänger wahrgenommene Frequenz $f_E^{\prime}$ ist demnach niedriger als die ausgesendete Frequenz $f$:

  $$ f_E = \frac{v_{ph}}{\lambda_E} = \frac{v_{ph}}{\lambda \cdot \left( 1 + \frac{v_S}{v_{ph}}\right)} = f \cdot \frac{1}{1 + \frac{v_S}{v_{ph}}}$$