Längenausdehnung

Gesetz der Längenausdehnung

Herleitung

Die Längenausdehnung $\Delta L$ ist:

• direkt proportional zur Temperaturänderung $\Delta \theta$ des Stabes:

  $$ \Delta L \sim \Delta \theta$$

• direkt proportional zur Anfangslänge $L_0$ des Stabes:

  $$ \Delta L \sim L_0$$

Die beiden Proportionalitäten lassen sich zusammenschreiben, daher ergibt sich:

$$ \Delta L \sim \Delta \theta \cdot L_0$$

und

$$ \frac{\Delta L}{\Delta \theta \cdot L_0} = konstant$$

Die Proportionalitätskonstante drückt die Abhängigkeit der Ausdehnung vom Material aus und wird als Längenausdehnungskoeffizient $\alpha$ bezeichnet. Also erhalten wir:

$$ \frac{\Delta L}{\Delta \theta \cdot L_0} = \alpha$$

Formel

$$ \Delta L = \alpha \cdot \Delta \theta \cdot L_0 $$

oder

$$ L - L_0 = \alpha \cdot \left( \theta - \theta_0 \right) \cdot L_0 $$

Längenausdehnung

Die Länge $L$ des Körpers bei der Temperatur $\theta$ ergibt sich durch die Summe aus der Ausgangslänge $L_0$ und der Längenänderung $\Delta L$ :

$$ L = L_0 + \Delta L = L_0 + \alpha \cdot L_0 \cdot \Delta \theta $$

es gilt:

$$ L = L_0 \cdot \left( 1+ \alpha \cdot \Delta \theta \right) $$

Längenausdehnungskoeffizient, linearer Wärmeausdehnungskoeffizient

Definition

Der Längenausdehnungskoeffizient gibt an wie viel oder wenig ein Stoff sich unter Auswirkung von Temperatur ausdehnt.

Einheit

$$ [\alpha] = \frac{1}{K} = \frac{1}{^{\circ}C}$$

Ausdehnung und Verkürzung

• Ausdehnung

  Wenn die Temperatur des Körpers steigt, dann dehnt sich der Körper aus; die Längenänderung $\Delta L$ ist positiv. Für $\alpha > 0$:

  $$ \theta > \theta_0 $$ $$\Leftrightarrow \Delta \theta > 0 $$ $$\Leftrightarrow L > L_0 $$ $$\Leftrightarrow \Delta L > 0 $$

  Es gilt also:

  $$\Delta \theta > 0 \Leftrightarrow \Delta L > 0$$

• Verkürzung

  Wenn die Temperatur des Körpers sinkt, dann zieht sich der Körper zusammen; die Längenänderung $\Delta L$ ist negativ. Für $\alpha > 0$:

  $$ \theta < \theta_0 $$ $$\Leftrightarrow \Delta \theta < 0 $$ $$\Leftrightarrow L < L_0 $$ $$\Leftrightarrow \Delta L < 0 $$

  Es gilt also:

  $$\Delta \theta < 0 \Leftrightarrow \Delta L < 0$$