Kinematik
Trägheitsprinzip
Definition
Ein sich selbst überlassener Körper bewegt sich ohne äußere Einwirkung geradlining gleichförmig oder bleibt in Ruhe.
Inertialsysteme
Definition
Inertialsysteme sind Bezugssysteme, in denen ein kräftefreier Körper in Ruhe oder in geradlining gleichförmiger Bewegung verharrt und dem Trägheitsprinzip gehorcht. In beschleunigten Bezugssystemen gilt das Trägheitsprinzip nicht.
Bemerkung
Es gibt unendlich viele gleichberechtigte Inertialsysteme. Es existiert kein absoluter Ruhezustand.
Geschwindigkeit
Definition
Unter der Geschwindigkeit \( v \) versteht man das Verhältnis des zurückgelegten Weges \( s \) zu der dafür benötigten Zeit \( t \) (Die Geschwindigkeit ist die Positionsänderung pro Zeiteinheit):
Formel
$$ v= \frac{s}{t}$$Einheit
$$ \left[ v\right] =\frac{m}{s} $$Durchschnittsgeschwindigkeit
Definition
Die Durchschnittsgeschwindigkeit wird bestimmt, indem der gesamte zurückgelegte Weg \( s \) durch die dafür benötigte Zeit \( t \) geteilt wird.
Formel
$$ \bar{v} =v_{d}=\frac{s}{t} $$Momentangeschwindigkeit
Definition
Die Momentangeschwindigkeit ist die mittlere Geschwindigkeit in einem sehr kurzen Weg - und Zeitintervall.
Formel
$$ v= \frac{ds}{dt}$$Beschleunigung, Verzögerung
Definition
Die Beschleunigung oder Verzögerung ist das konstante ändern der Geschwindigkeit \( \Delta v \) über einen Zeitraum \( \Delta t \).
Formel
$$ a=\frac{\Delta v}{\Delta t} $$Einheit
$$ [a] = \frac{m}{s^2} $$Anmerkung
Da bei Verzögerung die Geschwindigkeit sich verlangsamt erhält man eine negative Beschleunigung.
Gradlinige gleichförmige Bewegung
Definition
Eine Körperbewegung ist gleichförmig wenn in gleichen, beliebigen Zeitabschnitten \( \Delta t \) stets gleiche Wegabschnitte zurückgelegt werden.
$$s=v \cdot t $$ $$ v=konstant$$ $$ a=0 $$Gradlinig gleichförmig beschleunigte Bewegung
Beschleunigung ändert sich der Geschwindigkeit pro Zeiteinheit.
$$ s= \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^{2} + v_0 \cdot t $$ $$ v = a \cdot t + v_0$$ $$ a=konstant $$Torricelli-Formel
Herleitung
Die Gleichung, welche im folgenden hergeleitet wird, dient zu Berechnungen, wenn die Zeit $t$ nicht bekannt ist. Sie wird aus den Gleichungen eliminiert.
Weg-Zeit-Gesetz:
$$ s = v_0 \cdot t + \frac{1}{1} \cdot a \cdot t^2\ (1) $$Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz:
$$ v = v_0 + a \cdot t\ (2) $$Aus dem Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz $(2)$ erhalten wir nach $t$ umgestellt:
$$ t = \frac{v-v_0}{a}\ (3) $$$(3)$ in $(1)$:
$$ s = v_0 \cdot \frac{v-v_0}{a} + \frac{1}{1} \cdot a \cdot \left(\frac{v-v_0}{a} \right)^2 $$ $$ \Leftrightarrow s=\frac{v\cdot v_{0}-v^{2}_{0}}{a} +\frac{1}{2} \cdot a\cdot \frac{v^{2}-2v\cdot v_{0}+v^{2}_{0}}{a^{2}} $$ $$ \Leftrightarrow s=\frac{2v\cdot v_{0}-2v^{2}_{0}+v^{2}-2v\cdot v_{0}+v^{2}_0}{2a} $$ $$ \Leftrightarrow s=\frac{v^{2}-v^{2}_{0}}{2a} $$ $$ \Leftrightarrow v^{2}-v^{2}_{0}=2\cdot a\cdot s$$