Vecteurs

Vecteur

Définition

Un vecteur \( \overrightarrow{u} \) est caractérisé par sa norme, sa direction et son sens.

Vocabulaire

Soit un vecteur \( \overrightarrow{u} \) tel que \( \overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} \), alors:

1. \( \overrightarrow{AB} \) est le vecteur d'origine \( A \) et d'extrémité \( B \)

2. La norme du vecteur \( \overrightarrow{AB} \) est la longueur du segment \( [AB] \)
   On note:

   $$ \underbrace{\parallel \overrightarrow{AB} \parallel }_{norme\ de\ \overrightarrow{AB} } =AB$$

3. La direction du vecteur \( \overrightarrow{AB} \) est celle de la droite \( (AB) \)

4. Le sens du vecteur est celui de \( A \) vers \( B \)

Remarque

Le mot norme est parfois subistué par: amplitude, longueur, magnitude, module, scalaire

Norme d'un vecteur

Définition

Soit $\overrightarrow{a}$ un vecteur, tel que
$ \overrightarrow{a} = \binom{a_{1}}{a_{2}} $ dans une base $\left( e_1, e_2 \right)$, alors $ \Vert \overrightarrow{a} \Vert = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} $

Algébriquement

$$ \Vert \overrightarrow{b} \Vert = \left\Vert \binom{ \lambda a_{1}}{\lambda a_{2}} \right\Vert = \sqrt{\left( \lambda a_1 \right)^2 + \left( \lambda a_2 \right)^2} $$ $$\Leftrightarrow \Vert \overrightarrow{b} \Vert = \sqrt{\left( \lambda^2 a_1^2 \right) + \left( \lambda^2 a_2^2 \right)} $$ $$\Leftrightarrow \Vert \overrightarrow{b} \Vert = \sqrt{ \lambda^2 \left( a_1^2 + a_2^2 \right)} $$ $$\Leftrightarrow \Vert \overrightarrow{b} \Vert =\sqrt{\lambda^2} \sqrt{ a_1^2 + a_2^2 } $$ $$\Leftrightarrow \Vert \overrightarrow{b} \Vert = \begin{cases}\lambda \left\Vert \overrightarrow{a} \right\Vert &si\ \lambda >0\ \Rightarrow \ \left\Vert \overrightarrow{a} \right\Vert =\left| \lambda \right| \left\Vert \overrightarrow{b} \right\Vert \\ -\lambda \left\Vert \overrightarrow{a} \right\Vert &si\ \lambda < 0 \end {cases} $$

Vecteur nul

Définition

Le vecteur nul, noté \( \overrightarrow{0} \), est un vecteur dont la norme est nulle \(\parallel \overrightarrow{0} \parallel =0 \) et sa direction et son sens ne sont pas définis.
De plus, pour tout point \( M \) du plan :

$$ \overrightarrow{MM} = \overrightarrow{0} $$

Égalité de deux vecteurs

Définition

Deux vecteurs \( \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{v} \) sont égaux si ils ont la même norme, le même direction et le même sens.

Représentant d'un vecteur

Definition

Soit deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$. $\overrightarrow{u}$ est un vecteur représentant de $\overrightarrow{v}$ si et seulement si $\overrightarrow{u}$ est une translation de $\overrightarrow{v}$.

Vecteurs opposé

Définition

Deux vecteurs \( \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{v} \) sont opposés si ils ont la même norme et le même direction, mais ils sont de sens opposés.
On note:

$$ \overrightarrow{u} = -\overrightarrow{v} $$

Remarque

Si \( \overrightarrow{u} \) est un vecteur du plan, la translation, notée \( t \overrightarrow{u} \), est l'application du plan lui-même qui associe à tout point \( M \) tel que \( \overrightarrow{MM} = \overrightarrow{u} \). Le point \( M^{\prime} \) appelé image de \( M \) par \( t \overrightarrow{u} \).

Composantes d'un vecteur

Soit $\overrightarrow{u}$ un vecteur défini par: $\overrightarrow{u} \left( u_x, u_y, u_z \right)$, le vecteur a comme composantes:

$$\overrightarrow{u} = \left( u_x, u_y, u_z \right)$$

Produit scalaire

Définition

Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs non nuls du plan. On appelle produit scalaire de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ le nombre réel noté $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$ défini par :

$$ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \Vert \overrightarrow{u} \Vert \cdot \Vert \overrightarrow{v} \Vert \cdot \cos \left( \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \right) $$

Propriété

Deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux si et seulement si:

$$ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0 $$

Démonstration

Si l'un des vecteurs est nul le produit scalaire est nul et la propriété est vraie puisque, par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur du plan.
Si les deux vecteurs sont non nuls, leurs normes sont non nulles donc :

$$ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0 $$ $$ \Leftrightarrow \Vert \overrightarrow{u} \Vert \cdot \Vert \overrightarrow{v} \Vert \cdot \cos \left( \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \right) = 0 $$ $$ \Leftrightarrow \cos \left( \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \right) = 0 $$

On obtient donc que $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.

cqfd.

Propriété

Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ et tout réel $k$:

• $\left( k \cdot \overrightarrow{u} \right) \cdot \overrightarrow{v} = k \left( \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} \right)$

• $\overrightarrow{u} \cdot \left( \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w} \right) = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w} $

Propriété

Soit $\overrightarrow{u}$ un vecteur du plan. Le carré scalaire de $\overrightarrow{u}$ est le réel positif ou nul:

$$ \left( \overrightarrow{u} \right)^2 = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} = \Vert \overrightarrow{u} \Vert^2 $$

Démonstration

$$ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} = \Vert \overrightarrow{u} \Vert \cdot \Vert \overrightarrow{u} \Vert \cdot \underbrace{\cos \left( \overrightarrow{u}, \overrightarrow{u} \right)}_{=1} $$ $$ \Leftrightarrow \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} = \Vert \overrightarrow{u} \Vert^2 $$

cqfd.

Théorème

Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$:

$$ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \frac{1}{2} \cdot \left( \Vert \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \Vert^2 - \Vert \overrightarrow{u} \Vert^2 - \Vert \overrightarrow{v} \Vert^2 \right) $$

Démonstration

$$ \Vert \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \Vert^2 = \left(\overrightarrow{u} \right) ^2 + 2 \cdot \left( \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} \right) + \left(\overrightarrow{v}\right) ^2$$ $$ = \Vert \overrightarrow{u} \Vert^2 + 2 \cdot \left( \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} \right) + \Vert \overrightarrow{v} \Vert^2 $$

Par conséquent:

$$ \Vert \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \Vert^2 = \Vert \overrightarrow{u} \Vert^2 + 2 \cdot \left( \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} \right) + \Vert \overrightarrow{v} \Vert^2 $$ $$ \Leftrightarrow \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \frac{1}{2} \cdot \left( \Vert \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \Vert^2 - \Vert \overrightarrow{u} \Vert^2 - \Vert \overrightarrow{v} \Vert^2 \right) $$

cqfd.

Vecteur dans l'espace vectoriel

Un vecteur peut s'exprimer de manière unique dans une base de l'espace vectoriel.

$\overrightarrow{v}$ s'écrit alors comme une combinaison linéaire de $\overrightarrow{e_1}$ et $\overrightarrow{e_2}$.

$$ \exists a_1 ,\ a_2 \in \mathbb{R} \mid \overrightarrow{v} = a_1 \overrightarrow{e_1} + a_2 \overrightarrow{e_2} $$

$a_1$ et $a_2$ sont alors les composantes de $\overrightarrow{v}$ dans la base $\left( \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2} \right)$

Produit vectoriel

Définition

Soient deux vecteurs $\overrightarrow{a}$ et $\overrightarrow{b}$, on définit le produit vectoriel de $\overrightarrow{a}$ par $\overrightarrow{b}$ comme le vecteur:

$$ \overrightarrow{i} = \overrightarrow{a} \wedge \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} $$

tel que

1. $$ \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} = 0 $$

   et

   $$ \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{b} = 0 $$
2. $$ \Vert \overrightarrow{c} \Vert =\Vert \overrightarrow{a} \Vert \cdot \Vert \overrightarrow{b} \Vert \cdot \sin \left( \overrightarrow{a} ,\overrightarrow{b} \right) $$
3. $ \left( \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c} \right) $ forme un système de coordonnées direct

Propriétés

$\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ sont des vecteurs de $\mathbb{R}^3, \lambda \in \mathbb{R}$

Distributivité

Distributivité par rapport à l'addition vectoriel:

• $$ \overrightarrow{a} \times \left( \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} \right) = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c} $$
• $$\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right) \times \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c} + \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c} $$

Asymmétrie

$$ \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = - \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}$$

Multiplication d'un scalaire

$$ \lambda \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \left(\lambda \overrightarrow{a} \right) \times \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a} \times \left( \lambda \overrightarrow{b} \right) $$

Produit vectoriel nul

Le produit vectoriel est nul si et seulement si:

$$ \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \overrightarrow{0} $$ $$ \Leftrightarrow \overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}\ ou\ \overrightarrow{b} = \overrightarrow{0}\ ou\ \sin \left( \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \right) = 0$$

Pour: $\sin \left( \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \right) = 0$

$$ \sin \left( \varphi \right) = 0 $$ $$ \Leftrightarrow \varphi \equiv 0 \left[ \pi \right] $$ $$ \exists k \in \mathbb{Z} \mid \varphi = 0 + k\cdot \pi $$