Théorème de Thalès

Théorème

Considérons deux droites $d_1$ et $d_2$ sécantes en $A$ coupées par deux parallèles $(BC)$ et $(DE)$.
Si les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles, alors:

$$ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} $$

Démonstration

Considérons la première configuration.

1. $1^{ière}$ égalité: $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$

   • Considérons le triangle $ADE$ et notons $h_1$ la hauteur issue de $E$ du triangle $ADE$

     • $\mathscr{A}_{ADE} = \frac{AD \cdot h_1}{2}$
     • $\mathscr{A}_{ABE} = \frac{AB \cdot h_1}{2}$
     • $\frac{\mathscr{A}_{ADE}}{\mathscr{A}_{ABE}} = \frac{\frac{AD \cdot h_1}{2}}{\frac{AB \cdot h_1}{2}} = \frac{AD}{AB}$

   • Notons $h_2$ la hauteur issue de $D$ du triangle $ADE$

     • $\mathscr{A}_{ADE} = \frac{AE \cdot h_2}{2}$
     • $\mathscr{A}_{ADC} = \frac{AC \cdot h_2}{2}$
     • $\frac{\mathscr{A}_{ADE}}{\mathscr{A}_{ADC}} = \frac{\frac{AE \cdot h_2}{2}}{\frac{AC \cdot h_2}{2}} = \frac{AD}{AB}$

   • Considérons les triangles $DEB$ et $DEC$

     Notons que les triangles $DEB$ et $DEC$ ont une même base $[DE]$. De plus, puisque les droites $(DE)$ et $(BC)$ sont parallèles, ils ont la même hauteur $h$ relative à cette base.
     On peut conclure que les deux triangles ont la même aire:

     $$ \underbrace{\mathscr{A}_DEB}_{\frac{1}{2} \cdot DE \cdot h} = \underbrace{\mathscr{A}_DEC}_{\frac{1}{2} \cdot DE \cdot h} $$

   • Comme $\mathscr{A}_{ABE} = \mathscr{A}_{DEC}$, on a:

     $$ \frac{\mathscr{A}_{ADE}}{\mathscr{A}_{ABE}} = \frac{\mathscr{A}_{ADE}}{\mathscr{A}_{ADC}} \Leftrightarrow \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} $$

2. $2^{ière}$ égalité: $\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}$

   Soit $F$ le point d'intersection de la parallèle à la droite $(AC)$ passant par le point $D$ et de la droite $(BC)$.

   Considérons le quadrilatère $DECF$.

   • Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles deux à deux, alors c'est un parallélogramme. Donc $DECF$ est un parallélogramme.

   • Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont de même longuer.
     Donc $FC = DE$ et $DF = EC$.

   On peut maintenant appliquer la $1^{ière}$ égalité démontrée précédemment à la figure formée par les droites $(DA)$ et $(FC)$ et les droites parallèles $(DF)$ et $(AC)$

Remarque

Le théorème de Thalès permet de calculer une ou plusieurs longuers manquants dans une de ces configurations.

Réciproque de théorème de Thalès

Théorème

Considérons deux droites $(BC)$ et $(CD)$ sécantes en $A$.
Si $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$ et si les points $ADE$ et les points $A;\ E;\ C$ sont alignés dans le même ordre, alors les droites $(DE) \parallel (BC)$ sont parallèles.

Contraposée de théorème de Thalès

Théorème

Considérons deux droites $(BD)$ et $(CE)$ sécantes en $A$.
Si $\frac{AB}{AD} \neq \frac{AC}{AE}$, alors les droites $(BC)$ et $(DC)$ ne sont pas parallèles.