Géométrie dans l'espace

Règles de calcul

Définition

À tout couple des points \( (A; B) \) de l'espace, on associe le vecteur \( \overrightarrow{AB} \). Dans un plan qui convient \( A \) et \( B \), \( \overrightarrow{AB} \) est le vecteur de la translation qui transforme \( A \) en \( B \). Lorsque \( A = B \), le vecteur \( \overrightarrow{AA} \) est le vecteur nul, noté \( \overrightarrow{0} \).

Définition

Dire que deux vecteurs \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{CD} \) sont égaux signifie que \( ABCD \) est un parallélogramme éventuellement aplati.
Dans ce cas, \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{CD} \) sont représentants d'un même vecteur \( \overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \). Pour tout point \( E \) de l'espace et tout vecteur \( \overrightarrow{v} \), il existe un unique point \( F \) tel que \( \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{v} \).

Relation de Chasles

Définition

Pour tous points \( A,B,C \) de l'espace

$$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} $$

Propriété

Soient \( \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{v} \) deux vecteurs non nul et soient \( k \) et \( l \) deux nombres réels. On a:

  1. \( k \overrightarrow{u} = \overrightarrow{0} \) si, et seulement si, \( k=0 \) ou \( \overrightarrow{u} = \overrightarrow{0} \)

  2. \( k( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ) = k \overrightarrow{u} + k \overrightarrow{v} \)

  3. \( (k+l) \overrightarrow{u} = k \overrightarrow{u} + l \overrightarrow{u} \)

  4. \( k(l \overrightarrow{u}) = (kl) \overrightarrow{u} \)

Vecteurs colinéaires, parallélisme, alignement

Définition

Deux vecteurs non nuls \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{CD} \) sont colinéaires si, et seulement si, les droites \( (AB) \) et \( (CD) \) sont parallèles donc s'ils ont la même pente.

Remarque

Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.

Théorème

Centre de gravité

Définition

On appelle centre de gravité un triangle \( ABC \) le point \( G \) tel que:

$$ \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$$

Propriété

Soient un triangle \( ABC \), \( A^{\prime} \), \( B^{\prime} \) et \( C^{\prime} \) les milieux respectifs des côtés \( [BC] \), \( [AC] \) et \( [AB] \) et \( G \) le centre de gravité, alors:

$$ \overrightarrow{AG} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AA^{\prime}} $$ $$ \overrightarrow{BG} = \frac{2}{3} \overrightarrow{BB^{\prime}} $$ $$ \overrightarrow{CG} = \frac{2}{3} \overrightarrow{CC^{\prime}} $$

Plans de l'espace, vecteurs coplanaires

Règle

Par trois points \( A \), \( B \) et \( C \), non alignés, passe un plan et un seul.
Ce plan est noté \( (ABC) \). On dit que trois points non alignes déterminent un plan.

Conséquences

Règle

Si \( A \) et \( B \) sont deux points distincts d'un plan \( \mathscr{P} \), alors tous les points de la droite \( (AB) \) appartiennent au plan \( \mathscr{P} \).

Théorème

\( A \), \( B \) et \( C \) sont trois points non alignés de l'espace et \( \mathscr{P} \) le plan \( (ABC) \). Un point \( M \) appartient au plan \( \mathscr{P} \) si, et seulement si, il existe des nombres réels \( x \) et \( y \) tels que:

$$ \overrightarrow{AM} = x \overrightarrow{AB} + y \overrightarrow{AC}$$

Démonstration

Dans le plan \( \mathscr{P} \), comme les points \( A \), \( B \) et \( C \) ne sont pas alignés, les vecteurs \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AC} \) ne sont pas colinéaires, donc \( (A; \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}) \) est un repère du plan \( \mathscr{P} \). Donc pour tout point \( M \) de \( \mathscr{P} \), \( \overrightarrow{AM} \) se décompose en fonction de \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AC} \), ainsi il existe des nombres réels \( x \) et \( y \) tels que \( \overrightarrow{AM} =x \overrightarrow{AB} +y \overrightarrow{AC}\)

Réciproquement, on considère le point \( N \) du plan \( \mathscr{P} \) de coordonnées \( (x;y) \) dans le repère \( (A; \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}) \). Alors \( \overrightarrow{AN} =x \overrightarrow{AB} +y \overrightarrow{AC}\) donc \( \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AM} \) et \( M=N \). Le point \( M \) appartient au plan \( \mathscr{P} \).

Vocabulaire

En générale, un plan est défini par un point \( A \) et deux vecteurs non colinéaires \( \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{v} \). On parle alors du plan \( \mathscr{P} (A; \overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}) \) et on dit que \( \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{v} \) sont des vecteurs directeurs de ce plan.

Propriété

Deux plans qui ont deux vecteurs directeurs en commun sont parallèls.

Définition

Dire que les vecteurs \( \overrightarrow{u} \), \( \overrightarrow{v} \) et \( \overrightarrow{w} \) sont coplanaires signifie que pour un point \( O \) quelconque de l'espace, les points \( O \), \( A\), \(B \) et \( C \) définis par \( \overrightarrow{OA} =\overrightarrow{u} \), \( \overrightarrow{OB} =\overrightarrow{v} \) et \( \overrightarrow{OC} =\overrightarrow{w} \) sont dans le même plan.

Théorème *

\( \overrightarrow{u} \), \( \overrightarrow{v} \) et \( \overrightarrow{w} \) sont des vecteurs de l'espace tels que \( \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{v} \) ne sont pas colinéaires. \( \overrightarrow{u} \), \( \overrightarrow{v} \) et \( \overrightarrow{w} \) sont coplanaires si, et seulement si, il existe des nombres réels \( a \) et \( b \) tels que:

$$ \overrightarrow{w} = a \overrightarrow{u} + b \overrightarrow{v} $$

Démonstration

Pour un point \( O \) quelconque de l'espace, \( A \), \( B \), \( C \) sont définis par \( \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{u} \), \( \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{v} \) et \( \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{w} \). \( \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{v} \) ne sont pas colinéaires, ce sont donc deux vecteurs directeurs du plan \( (OAB) \). Par définition \( \overrightarrow{u} \), \( \overrightarrow{v} \) et \( \overrightarrow{w} \) sont coplanaires signifie que \( C \) appartient au plan \( (OAB) \). D'après le théorème *, il existe des nombres \( a \) et \( b \) tels que \( \overrightarrow{OC} = a \overrightarrow{OA} + b \overrightarrow{OB} \Leftrightarrow \overrightarrow{w} = a \overrightarrow{u} + b \overrightarrow{v} \)

Conséquences

  1. Dire que quatre points \( A \), \( B \), \( C \) et \( D \) sont coplanaires équivaut à dire que les vecteurs \( \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{AC} \) et \( \overrightarrow{AD} \) sont coplanaires.

  2. Dire que les droites \( (AB) \) et \( (CD) \) sont coplanaires équivaut à dire que les vecteurs \( \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{AC} \) et \( \overrightarrow{AD} \) sont coplanaires.

  3. Dire que les plans sont parallèles équivaut à dire que deux vecteurs non colinéaires de l'un et deux vecteurs non colinéaires de l'autre sont coplanaires.

Repère dans l'espace

Définition

Un repère de l'espace noté \( (O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j}; \overrightarrow{k}) \) est formé d'un point \( O \) et d'un triplet \( (\overrightarrow{i}; \overrightarrow{j}; \overrightarrow{k}) \) de vecteurs non coplanaires. Le triplet \( (\overrightarrow{i}; \overrightarrow{j}; \overrightarrow{k}) \) est appelé base de vecteurs de l'espace

Théorème

\( (O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j}; \overrightarrow{k}) \) est un repère de l'espace. Pour tout point \( M \) de l'espace, il existe un unique triplet de nombres réels \( (x;y;z) \) tels que:

$$ \overrightarrow{OM} = x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j} + z \overrightarrow{k} $$

Démonstration

Soit \( (\overrightarrow{i}; \overrightarrow{j}; \overrightarrow{k}) \) une base de l'espace, \( O \) est un point de l'espace et \( \mathscr{P} \) le plan défini par \( O \) et les deux vecteurs non colinéaires \( \overrightarrow{i} \) et \( \overrightarrow{j} \). Soit \( M^{\prime} \) le point d'intersection de la droite passant par \( M \) de vecteur directeur \( \overrightarrow{k} \) et le plan \( \mathscr{P} \). Comme \( M^{\prime} \in \mathscr{P} \) il existe deux nombres réels \( x \) et \( y \) tels que \( \overrightarrow{OM^{\prime}} =x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j} \) \( \overrightarrow{MM^{\prime}} \) et \( \overrightarrow{k} \) sont colinéaires, donc il existe un nombre réel \( z \) tel que \( \overrightarrow{MM^{\prime}} = z \cdot \overrightarrow{k} \). D'où,

$$ \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OM^{\prime} + \overrightarrow{MM} = x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j} + z \overrightarrow{k} $$

On admet l'unicité de celle écriture.

Vocabulaire

\( (x;y;z) \) sont des coordonnées de \( M \) dans le repère \( (O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j}; \overrightarrow{k}) \). \( x \) est l'abscisse, \( y \) est l'ordonnée et \( z \) la cote de \( M \) dans ce repère.

\( (O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j}; \overrightarrow{k}) \) est un repère. Au vecteur \( \overrightarrow{u} \) associons \( M \) tel que \( \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{u}\). Par définition, les coordonnées de \( \overrightarrow{u} \) sont les coordonnées \( (x;y;z) \) de \( M \). Ainsi, tout vecteur \( \overrightarrow{u} \) s'écrit de manière unique:

$$ \overrightarrow{u} = x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j} + z \overrightarrow{k} $$

Paramétrage d'une droite

Théorème

La droite $ d $ passant par $A(x_0; y_0; z_0)$ et dirigée par le vecteur $ \overrightarrow{u} (a;b;c)$ est l'ensemble des points $M(x;y;z)$ tels que:

$$ \left( S\right) :\begin{cases}x=x_{0}+at&\\ y=y_{0}+bt&\\ z=z_{0}+ct&\end{cases} ,t \in \mathbb{R}$$

Démonstration

$$ M \in d(A; \overrightarrow{u}) \Leftrightarrow \exists t \in \mathbb{R} | \overrightarrow{AM} = t \cdot \overrightarrow{u}$$ $$\Leftrightarrow \exists t \in \mathbb{R}\ | \begin{pmatrix} x - x_0 \\ y - y_0 \\ z - z_0 \end{pmatrix} = t \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} $$ $$\Leftrightarrow \exists t \in \mathbb{R} | \begin{cases}x-x_{0}&=t\cdot a\\ y-y_{0}&=t\cdot b\\ z-z_{0}&=t\cdot c\end{cases} $$ $$ \Leftrightarrow \exists t \in \mathbb{R} | \begin{cases}x=x_{0}+t\cdot a&\\ y=y_{0}+t\cdot b&\\ z=z_{0}+t\cdot c&\end{cases} $$

Le système $ (S) $ est appelé représentation paramétrique de la droite $d(A; \overrightarrow{u})$ dans le repère $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k})$ t est le paramètre.

À chaque valuer de $t$, on associe un et un seul point $M(x_0+at;y_0+bt;z_0+ct)$. Réciproquement, à chaque point $M$ de $d$ correspond un seul nombre $t$ tel que $\overrightarrow{AM} = t \overrightarrow{u}$

Conséquences

Lorsqu'une représentation paramétrique d'une droite $d$ est écrite sous la forme $(S)$, alors on peut affirmer que $d$ passe par $A(x_0;y_0;z_0)$ et que $\overrightarrow{u}(a;b;c)$ est un vecteur directeur de $d$.

Position relative, intersection de deux droites

Théorie

Soient $d$ la droite passant par $A(x_0;y_0;z_0)$ de vecteur directeur $\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} $ deux droites de l'espace de représentation paramétriques respectives:

$$ d: \begin{cases}x=x_{0}+t\cdot a&\\ y=y_{0}+t\cdot b&\\ z=z_{0}+t\cdot c&\end{cases}, t \in \mathbb{R} $$

et

$$ d: \begin{cases}x^{\prime}=x^{\prime}_{0}+s\cdot a^{\prime}&\\ y^{\prime}=y^{\prime}_{0}+s\cdot b^{\prime}&\\ z^{\prime}=z^{\prime}_{0}+s\cdot c^{\prime}&\end{cases}, s \in \mathbb{R} $$

Ces deux droites $d$ et $d^{\prime}$ peuvent être:

Conclusions

$$d\ et\ d^{\prime}\ sont\ ...$$ $$Comment\ le\ montrer$$

strictement parallèles ou coplanaires

$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{u^{\prime}}$ sont colinéaires $A \in d$, mais $A \notin d^{\prime}$ (ou $A^{\prime} \in d^{\prime}$, mais $A^{\prime} \notin d$; ou $\overrightarrow{AA^{\prime}}$ et $\overrightarrow{u}$ non colinéaires)

confondues

$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{u^{\prime}}$ sont colinéaires $A \notin d^{\prime}$ (ou $A^{\prime} \in \ d^{\prime}$ et $A^{\prime} \in d$: ou $\overrightarrow{AA^{\prime}}$ et $\overrightarrow{u}$ sont coplanaires)

sécantes

il existe un unique couple $(s;t) \in \mathbb{R^2}$ tel que $(S)$:

$$ \begin{cases} x_0+at=x^{\prime}_{0}+s\cdot a^{\prime}s&\\ y_0+bt=y^{\prime}_{0}+s\cdot b^{\prime}s&\\ z_0+ct=z^{\prime}_{0}+s\cdot c^{\prime}s&\\ \end{cases}$$

non coplanaires

$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ non colinéaires il n'existe pas de couple $(s;t) \in \mathbb{R}^2$ qui vérifie $(S)$

Produit scalaire dans l'espace

Définition

Dans l'espace une unité de longuer étant choisie, le produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ est le nombre noté $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$ défini par:

$$ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \frac{1}{2} [\parallel \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \parallel ^2 - \parallel \overrightarrow{u} \parallel ^2 - \parallel \overrightarrow{v} \parallel ^2]$$

Deux vectuers de l'espace sont nécessairement coplanaires. En effet, quels que soient les trois points $A,B,C$ tels que $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{AC}$, il existe au moins un plan $\mathscr{P}$ contenant les points $A,B,C$.
L'unité de longuer dans le plan étant celle choisie dans l'espace, la définition du produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ de l'espace coïncide avec celle du produit scalaire de ces mêmes vecteurs dans le plan $\mathscr{P}$.
Il en résulte que les expression du produit scalaire établies dans le plan sont encore valables dans l'espace.