Conditions Mathématiques utiles

Droites parallèles

$$ Les\ droites\ \left( AB\right) \ et\ \left( CD\right) \ sont\ parallels$$ $$ \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} \ et\ \overrightarrow{CD} \ sont\ colineaires $$ $$\Leftrightarrow \exists\ k\in \mathbb{R}|\ \overrightarrow{AB} =k\cdot \overrightarrow{CD} $$

Points alignés

$$ Les\ droites\ A,\ B\ et\ C\ sont\ alignés$$ $$ \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} \ et\ \overrightarrow{CD} \ sont\ colineaires $$ $$\Leftrightarrow \exists\ k\in \mathbb{R}|\ \overrightarrow{AB} =k\cdot \overrightarrow{CD} $$

Parallèlogramme

$$ ABCD\ est\ un\ parallelogramme $$ $$\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} \ =\ \overrightarrow{DC} $$

Losange

$$ABCD\ est\ un\ losange$$ $$\Leftrightarrow ABCD\ est\ un\ parallelogramme$$ $$ \Leftrightarrow ABCD\ est\ un\ parallelogramme\ et\ deux\ vecteurs\ consécutifs\ ont\ la\ même\ norme\ $$

Triangle isocèle

$$ ABC\ est\ un\ triangle\ isocèle\ en\ A $$ $$ \Leftrightarrow \| \overrightarrow{AB} \parallel \ =\ \parallel \overrightarrow{AC} \parallel$$

Triangle équilatérale

$$ABC\ est\ un\ triangle\ équilatérale$$ $$\Leftrightarrow \| \overrightarrow{AB} \parallel \ =\ \parallel \overrightarrow{AC} \parallel \ =\ \| \overrightarrow{BC} \| $$

Triangle rectangle

$$ABC\ est\ un\ triangle\ rectangle\ en\ A$$ $$\Leftrightarrow \| \overrightarrow{BC} \|^{2} =\| \overrightarrow{AB} \|^{2} \ +\ \| \overrightarrow{AC} \|^{2} $$

Remarque

Ceci est la réciproque du théorème du Phythagore

Carré

$$ABCD\ est\ un\ carré$$ $$\Leftrightarrow ABCD\ est\ un\ losange\ et\ il\ y\ a\ un\ angle\ droit$$

Médiatrice

Soit \( A \) et \( B \) deux points et \( m_{AB} \) la médiatrice de \( [AB] \)

$$M\left( z\right) \in m_{AB}$$ $$\Leftrightarrow AM\ =\ MB$$ $$\Leftrightarrow \| \overrightarrow{AM} \| \ =\ \| \overrightarrow{MB} \| $$ $$\Leftrightarrow \left| z-z_{A}\right| =\left| z-z_{B}\right| $$

Cercle

Soit \( C \) le cercle de rayon \( r \) et de centre \( A \)

$$M\left( z\right) \in C$$ $$\Leftrightarrow AM=r$$ $$\Leftrightarrow \| \overrightarrow{AM} \| \ =\ r$$ $$\Leftrightarrow \left| z-z_{A}\right| =\ r$$