Fonction logarithme népérien

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $y = f(x)$. La réciproque de cette fonction est la relation qui fait correspondre à chaque $y$ obtenu par $f$, le ou les $x$ dont $y$ est l'image.

Remarques

• La réciproque d'une fonction est une relation, mais n'est pas toujours une fonction comme chaque antécédent admet au plus une seul image.

• Les courbes d'une fonction $f$ et de sa réciproque sont toujours symétriques par rapport à la première bissectrices des axes du repère orthonormé.

Propriété

Soit $f$ une fonction telle que sa réciproque soit également une fonction notée $g$.

Alors $\forall x \in D_g $:

$$ f \circ g(x)=x $$

et $\forall x \in D_f $:

$$ g \circ f(x) =x $$

Fonction réciproque

Définition

La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est définie par:

$$ \ln :]0;+\infty [\ \rightarrow \mathbb{R}$$ $$ x \rightarrow y = \ln(x) $$

où $\ln(x)$ est le nombre dont l'exponentielle est $x$.

Propriété

1. par définition
   $\forall x > 0,\ e^{\ln(x)} = x$

2. $\forall x \in \mathbb{R},\ \ln(e^x) = x$

3. $\ln(e) = 1$

4. $\ln(1) = 0$

Théorème

$\forall a \in \mathbb{R^*_+}$ et $\forall b \in \mathbb{R}$

$$ \ln(a) = b \Leftrightarrow a = e^b$$

Démonstration

Si $\ln(a) = b$, alors $e^b = e^{\ln(a)} = a$
Réciproquement, si $a = e^b$, alors $\ln(a) = \ln(e^b) = b$.

Propriété

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $\mathbb{R^*}$.

Démonstration

Considérons deux nombres strictement positifs $u$ et $v$ tels que $u < v$, soit encore $e^{\ln(u)} < e^{\ln(v)}$. La fonction exp est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, donc nécessairement, $\ln(u) < \ln(v)$ : La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0; +\infty[$.

Propriété

$\forall a,b \in ]0;+ \infty[$

$$ \ln(a) = \ln(b) \Leftrightarrow a = b $$

et

$$ \ln(a) < \ln(b) \Leftrightarrow a < b $$

Théorème

$\forall a,b \in \mathbb{R^*_+}$

$$ \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$$

Démonstration

$\forall a,b \in \mathbb{R^*_+}$

$$ \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) $$

Comme la fontion exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$:

$$ \Leftrightarrow e^{\ln(ab)} = e^{\ln(a) +\ln(b)}$$ $$ \Leftrightarrow ab = e^{\ln(a)} \cdot e^{\ln(b)} $$ $$ \Leftrightarrow ab = e^{\ln(a)} \cdot e^{\ln(b)} $$$$ \Leftrightarrow ab = a \cdot b $$

Théorème

$\forall a,b \in \mathbb{R^*_+}$

$$ \ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$$ $$ \ln(\frac{1}{b}) = - \ln(b)$$

Démonstration

On sait que:

$$ \forall x,y \in \mathbb{R^*_+}:$$ $$ \ln(xy) = \ln(x) + \ln(y)\ (1) $$

• Pour $x=\frac{a}{b}$ et $y=b$, $(1)$ s'écrit:

  $$ \ln(\frac{a}{b} \cdot b) = \ln(\frac{a}{b}) + \ln(b)$$ $$ \Leftrightarrow \ln(a) = \ln(\frac{a}{b}) + \ln(b) $$ $$ \Leftrightarrow \ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)\ (2) $$

• Pour $a=1$, $(2)$ s'écrit:

  $$ \ln(\frac{1}{b}) = \ln(1) - \ln(b) = -\ln(b)$$

Théorème

Pour tout entier $p > 1$ et tous réels $a_1 > 0$, $a_2 > 0$, ... , $a_p > 0$

$$ \ln(a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_p) = \ln(a_1) + \ln(a_2) + ... + \ln(a_p)$$

Démonstration

Montrons par récurrence que la formule est vraie pour tout entier $p \geqslant 1$

$$ \mathscr{P}(p): \ln(a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_p) = \ln(a_1) + \ln(a_2) + ... + \ln(a_p) $$

• Initialisation: $\mathscr{P}(1)$ est vraie
  En effet, $\ln(a_1) = \ln(a_1)$

• Hérédité: Supposons que l'on ait $\mathscr{P}(p)$
  Alors on aurait,

  $$ \ln(a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_p \cdot a_{p+1}) $$ $$ = \ln(a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_p) + \ln(a_{p+1}) $$ $$ = \ln(a_1) + \ln(a_2) + ... \ln(a_p) + \ln(a_{p+1}) $$

  par l'hypothèse de récurrence
  Donc $\mathscr{P}(p+1)$ est vraie

• Conclusion: Pour tout entier $p \geqslant 1$ et tous réel $a_1 > 0$, $a_2 > 0$, ... , $a_p > 0$:

  $$ \ln(a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_p) = \ln(a_1) + \ln(a_2) + ... + \ln(a_p)$$

Théorème

$ \forall a \in \mathbb{R^*_+}$ et $\forall p \in \mathbb{Z}$

$$ \ln(a^p) = p \cdot \ln(a)$$

Démonstration

On sait que:
Pour tout entier $p \geqslant 1$ et tous réels $a_1 > 0$, $a_2 > 0$, ... , $a_p > 0$:

$$ \ln(a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_p) = \ln(a_1) + \ln(a_2) + ... + \ln(a_p)\ (1) $$

• si $p \geqslant 1$: Lorsque $a_1 = a_2 = ... = a_p = a$, alors $(1)$ permet de conclure que

  $$ \ln(a^p) = p \ln(a)\ (2) $$

• $p \leqslant -1 $:

  $$ \ln(a^p) = \ln(\frac{1}{a^{-p}}) $$ $$= -\ln(a^{-p}) $$ $$= -(-p \ln(a)) $$

  par $(2)$, car $-p \geqslant 1$

  $$ = p \ln(a) $$

• si $p=0$: $\ln(a^p) = \ln(1) = 0$ et $p \ln(a) = 0.$
  D'où le résultat.

Théorème

$\forall a > 0$

$$ \ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2} \ln(a) $$

Démonstration

$\forall a \in \mathbb{R^*_+}$:

$$ \ln(a) = \ln(\sqrt{a} \cdot \sqrt{a})$$ $$\Leftrightarrow \ln(a) = \ln(\sqrt{a}) + \ln(\sqrt{a})$$ $$\Leftrightarrow \ln(a) = 2 \ln(\sqrt{a}) $$ $$\Leftrightarrow \ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2} \ln(a) $$

Limites

Théorème

1. $\lim_{x \rightarrow + \infty} \ln(x) = + \infty$

2. $\lim_{x \rightarrow 0^+} \ln(x) = - \infty$

Théorème

$$ \lim_{x \rightarrow 1} \frac{\ln(x)}{x-1} = 1 $$

Démonstration

$$ \lim_{x \rightarrow 1} \frac{\ln(x)}{x-1} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{\ln(x) - \ln(1)}{x-1}$$ $$ = (\ln)^{\prime}(1) $$ $$ =1 $$

Dérivée

Théorème

La fonction $\ln$ est dérivable sur $\mathbb{R^*_+}$ et $\forall x \in \mathbb{R^*_+}$ :

$$ (\ln)^{\prime} (x) = \frac{1}{x} $$

Démonstration

Soit $a \in \mathbb{R^*_+}$
Nous devons démontrer que:

$$ \lim_{x \rightarrow a} \frac{\ln(x) - \ln(a)}{x-a} = \frac{1}{a} $$

Posons:

$$y= \ln(a) \Leftrightarrow x = e^y$$

et

$$ b = \ln(a) \Leftrightarrow a = e^b$$

Si $x \rightarrow a$, alors $y \rightarrow \ln(a) = b$, car $\ln$ est continue sur $\mathbb{R^*_+}$
On a donc:

$$ \lim_{x \rightarrow a} \frac{\ln(x) - \ln(a)}{x-a} = \lim_{y \rightarrow b} \frac{y-b}{e^y - e^b}$$ $$= \lim_{y \rightarrow b} \frac{1}{\frac{y-b}{e^y - e^b}}$$ $$ =\frac{1}{(\exp)^{\prime}(b)} $$ $$ =\frac{1}{e^b} $$ $$ =\frac{1}{a} $$

Comme ceci est vrai pour tout $a > 0$, la fonction $\ln$ est dérivable sur $\mathbb{R^*_+}$ et $\forall x \in \mathbb{R^*_+}$ :

$$ (\ln)^{\prime}(x) = \frac{1}{x} $$

Conséquence

Si $u$ est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$, alors la fonction $f$ définie par:

$$ f(x) = \ln[u(x)] $$

est dérivable sur $I$ et $\forall x \in I$ :

$$ f^{\prime}(x) = \frac{u^(x)}{u(x)} $$

Croissance comparée de $\ln(x)$ et $x^n$

Théorème

1. $\lim_{x \rightarrow + \infty} = \frac{\ln(x)}{x} = 0$

2. $\lim_{x \rightarrow 0^+} = x \ln(x) = 0$

Démonstration

1. Posons $y= \ln(x) \Leftrightarrow x = e^y$
   Si $x \rightarrow + \infty$, alors $y \rightarrow + \infty$
   Donc:

   $$ \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{\ln(x)}{x} = \lim_{y \rightarrow + \infty} \frac{y}{e^y} $$ $$= \lim_{y \rightarrow + \infty} \underbrace{\frac{1}{\frac{y}{e^y}}}_{\rightarrow + \infty} $$ $$ =0$$

2. Posons $y= \ln(x) \Leftrightarrow x = e^y$
   Si $x \rightarrow 0^+$, alors $y \rightarrow - \infty$
   Donc:

   $$ \lim_{x \rightarrow 0^+} x \ln(x) = \lim_{y \rightarrow - \infty} e^y \cdot y $$ $$= \lim_{y \rightarrow - \infty} y e^y $$ $$ =0$$

Théorème

$$ \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{x}{\ln(x)} = + \infty $$

Remarques

1. On dit qu'à l'infini et en 0 $x$ l'emporte sur $\ln(x)$.

2. Vu que $\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$, $\mathscr{C}_{\ln}$ n'admet pas d'asymptote oblique en $+ \infty$.

Théorème

$\forall n \in \mathbb{N^*}$:

1. $\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0$

2. $\lim_{x \rightarrow + \infty} x^n{\ln(x)} = + \infty$

3. $\lim_{x \rightarrow 0^+} x^n \ln(x) = 0$

Remarque

On dit qu'à l'infini et en 0, n'importe quelle puissance de $x$ l'emporte sur $\ln(x)$.