Fonction exponentielle

Théorème

Il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que :

$$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}:f^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)etf\left(0\right)=1$$

Définition

La fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f^{\prime }=fetf(0)=1$ est appelée fonction exponentielle. On la note $\exp$.

Théorème

La fonction $f$ définie par $f(x)=\exp (u(x))$ est dérivable sur $I$ et pour tout $x\in I$:

$$f^{\prime }\left(x\right)=u^{\prime }\left(x\right)\cdot \exp \left(u\left(x\right)\right)$$

Théorème

Pour tout réel $a$ et tout réel $b$,

$$\exp (a+b)=\exp \left(a\right)\cdot \exp \left(b\right)$$

Démonstration

On fixe le réel $a$ et on introduit la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par:

$$h=\frac{\exp (x+a)}{\exp \left(a\right)}$$

La fonction $h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$

$$h^{\prime }\left(x\right)={\left(\frac{\exp (x+a)}{\exp \left(a\right)}\right)}^{\prime }$$ $$=\frac{1}{\exp \left(a\right)}\cdot {\left(\exp \right)}^{\prime }(x+a)$$ $$=\frac{1}{\exp \left(a\right)}\cdot {(x+a)}^{\prime }\cdot \exp (x+a)$$ $$=\frac{1}{\exp \left(a\right)}\cdot 1\cdot \exp (x+a)$$ $$=\frac{\exp (x+a)}{\exp \left(a\right)}$$ $$=h^{\prime }(x)$$

De plus: $h\left(0\right)=\frac{\exp (0+a)}{\exp \left(a\right)}=\frac{\exp \left(a\right)}{\exp \left(a\right)}=1$
La fonction $h$ est telle que $h^{\prime }=h$ et $h(0)=1$ : il s'agit donc de la fonction exponentielle.
Ainsi, pour tout réel $x$ :

$$h\left(x\right)=\exp \left(x\right)$$ $$\iff \frac{\exp (x+a)}{\exp \left(a\right)}=\exp \left(x\right)$$

Avec $\mid \cdot \exp (a)\ne 0$

$$\iff \exp (x+a)=\exp \left(x\right)\cdot \exp \left(a\right)$$

Pour $x=b$, on obtient:

$$\iff \exp (a+b)=\exp \left(a\right)\cdot \exp \left(b\right)$$

cqfd

Théorème

$\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{R}$:

$$\exp (-a)=\frac{1}{\exp \left(a\right)}et\exp (a-b)=\frac{\exp \left(a\right)}{\exp \left(b\right)}$$

Démonstration

On sait que: $\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{R}$ : $\exp (a+b)=\exp \left(a\right)\cdot \exp \left(b\right)(1)$
1 Pour $b=-a$, on obtient :

$$\exp [a+(-a)]=\exp \left(a\right)\cdot \exp (-a)$$ $$\iff \exp \left(0\right)=\exp \left(a\right)\cdot \exp (-a)$$ $$\iff 1=\exp \left(a\right)\cdot \exp (-a)|\cdot \frac{1}{\exp \left(a\right)},car\exp \left(a\right)\ne 0$$ $$\iff \exp (-a)=\frac{1}{\exp \left(a\right)}\left(2\right)$$

2) On a:

$$\exp (a-b)=\exp [a+(-b)]$$

Par (1):

$$=\exp \left(a\right)\cdot \exp (-b)$$

Par (2):

$$=\exp \left(a\right)\cdot \frac{1}{\exp \left(b\right)}$$ $$=\frac{\exp \left(a\right)}{\exp \left(b\right)}$$

cqfd

Théorème

$\mathrm{\forall }a\in \mathbb{R}$:

$$\exp \left(\frac{a}{2}\right)=\sqrt{\exp \left(a\right)}$$

Théorème

$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$ et $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$

$$\exp (n\cdot x)={[\exp \left(x\right)]}^n$$

Démonstration

Montrons d'abord par récurrence que la formule est vraie pour tout entier naturel $n$ de $\mathbb{N}$.

$$\mathcal{P}(x):\exp (n\cdot x)={[\exp \left(x\right)]}^n$$

Initialisation:
$\mathcal{P}(0)$ est vraie.
En effet $\exp (0\cdot x)=\exp \left(0\right)=1$ et ${[\exp \left(x\right)]}^0=1$
Hérédité:
Supposons que l'on ait $\mathcal{P}(n)$.
Alors on aurait:

$$\exp \left[(n+1)x\right]=\exp (nx+x)$$ $$=\exp \left(nx\right)\cdot \exp \left(x\right)$$

par l'hypothèse de récurrence

$$=\exp {\left[\left(x\right)\right]}^n\cdot \exp \left(x\right)$$ $$=\exp {\left[\left(x\right)\right]}^{n+1}$$

Donc $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.
Conclusion:
$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$ : $\exp \left(nx\right)={[\exp \left(x\right)]}^n$
Par ailleurs,

$$\exp (-nx)=\frac{1}{\exp \left(nx\right)}=\frac{1}{{[\exp \left(x\right)]}^n}={[\exp \left(x\right)]}^{-n}$$

La formule est donc vraie pour tout entier relatif.
cqfd

Notation

$$e=\exp (1)$$

$e$ est appelé nombre exponentiel, nombre d'Euler ou constante de Néper.

$$e\simeq 2.71828$$ $$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}:\exp (x)=e^x$$

Conventions

$$e^0=1$$ $$e^1=e$$

$\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{R}$:

$$e^{a+b}=e^a\cdot e^b$$ $$e^{-a}=\frac{1}{e^a}$$ $$e^{a-b}=\frac{e^a}{e^b}$$ $$e^{\frac{a}{2}}=\sqrt{e^a}$$

$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$ et $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{Z}$ :

$${\left(e^x\right)}^n=e^{nx}$$

$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$:

$${\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x$$

Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$, alors $\mathrm{\forall }x\in I$:

$${\left(e^{u\left(x\right)}\right)}^{\prime }=u^{\prime }\left(x\right)\cdot e^{u\left(x\right)}$$

Variations

Théorème

$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$:

$$e^x>0$$

Théorème

La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Conséquences

$\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{R}$:

Comme $\exp$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$

$$e^a=e^b\iff a=b$$

Comme $\exp$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$

$$e^a<e^b\iff a<b$$

Théorème

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{e}^x=+\mathrm{\infty }$$ $$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{e}^x=0$$

Démonstration

Démontrons que $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{e}^x=+\mathrm{\infty }$ en comparant $e^x$ à $x$.
Pour cela, étudions la fonction différence $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par:

$$f\left(x\right)=e^x-x$$

$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$

$$f^{\prime }\left(x\right)=e^x-1$$ $$f^{\prime }\left(x\right)>0\iff e^x-1>0$$ $$\iff e^x>1$$ $$\iff e^x>e^0$$ $$\iff x>0$$

Comme $\exp$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$

$$f^{\prime }\left(x\right)=0\iff x=0$$

On obtient donc le tableau de variations suivant:

$f$ sur $\mathbb{R}$ le nombre 1 comme minimum et $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$

$$f\left(x\right)⩾1$$

Donc, $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$:

$$f\left(x\right)>0\iff e^x-x>0$$ $$\iff e^x>x$$

Or, $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{e}^x=+\mathrm{\infty }$, donc par le théorème de comparaison, on a:

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{e}^x=+\mathrm{\infty }$$

cqfd
Démontrons que $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{e}^x=0$
Posons $t=-x\iff x=-t$
Si $x\to -\mathrm{\infty }$, $t\to +\mathrm{\infty }$
Donc,

$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{e}^x=\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}{e}^{-t}$$ $$=\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}\underset{\to +\mathrm{\infty }}{\underbrace{\frac{1}{e^t}}}$$ $$=0$$

cqfd

Courbe représentative

Théorème

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x-1}{x}=1$$

Démonstration

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x-1}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x-e^0}{x-0}$$ $$=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\exp (x)-\exp (0)}{x-0}$$

par définition de la dérivabilité de exp en 0

$$=(\exp {)}^{\prime }(0)$$ $$=\exp (0)$$ $$=1$$

Croissance comparée

Théorème

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{e^x}{x}=+\mathrm{\infty }$$ $$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}x{e}^x=0$$

Démonstration 1

Démontrons que $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{e^x}{x}=+\mathrm{\infty }$ en comparant $e^x$ à $\frac{x^2}{2}$
Pour cela, étudions la fonction différence $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$f(x)=e^x-\frac{x^2}{2}$$

$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$ :

$$f^{\prime }(x)=e^x-x$$

$f^{\prime }$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$ :

$$f^{\prime \prime }(x)=$$

Or:

$$f^{\prime \prime }(x)>0\iff e^x-1>0$$ $$\iff e^x>1$$ $$\iff e^x>e^0$$ $$\iff x>0$$

Comme la fonction $\exp$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$

$$f^{\prime \prime }(x)=0\iff x=0$$

On obtient donc le tableau de variations suivant (pour la fonction $f^{\prime }$ ):

$f^{\prime }$ admet sur $\mathbb{R}$ le nombre 1 comme minimum et $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$ :

$$f^{\prime }(x)⩾1$$

Donc, $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$:

$$f^{\prime }(x)>0$$

On obtient alors le tableau de variations pour la fonction $f$

Ainsi, $\mathrm{\forall }x\in {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$

$$f^{\prime }(x)>1$$

Donc, $\mathrm{\forall }x\in {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$

$$f^{\prime }(x)>0\iff e^x-\frac{x^2}{2}>0$$ $$\iff e^x>\frac{x^2}{2}$$ $$\iff \frac{e^x}{x}>\frac{x}{2}$$

Or, $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x}{2}=+\mathrm{\infty }$, donc par le théorème de comparaison, on a :

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{e^x}{x}=+\mathrm{\infty }$$

Démonstration 2

Démontrons que:

$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}x{e}^x=0$$

Posons $t=-x\iff x=-t$
Si $x\to -\mathrm{\infty }$, alors $t\to +\mathrm{\infty }$
Donc :

$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}x{e}^x=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}-t{e}^{-t}$$ $$=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{-t}{e^t}$$ $$=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{-1}{\frac{e^t}{t}}$$ $$=0$$

Théorème

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x}{e^x}=0$$

Théorème

$\mathrm{\forall }x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$:

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{e^x}{x^n}=+\mathrm{\infty }$$ $$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{x}^n{e}^x=0$$

Démonstration 1

Démontrons que:

$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{x}^n{e}^x=0$$

Posons $t=\frac{x}{n}\iff x=t\cdot n$
Si $x\to +\mathrm{\infty }$, alors $t\to +\mathrm{\infty }$, car $n⩾1$
Donc :

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{e^x}{x^n}=\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{e^{nt}}{(nt{)}^n}$$ $$=\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{(e^t{)}^n}{n^n\cdot t^n}$$ $$=\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}\underset{>0}{\underbrace{\frac{1}{n^n}}}\cdot {\left(\underset{\to +\mathrm{\infty }}{\underbrace{\frac{e^t}{t}}}\right)}^n$$ $$=+\mathrm{\infty }$$

Démonstration 2

Posons $t=-x\iff x=-t$;
lorsque $x\to -\mathrm{\infty }$ alors $t\to +\mathrm{\infty }$

• Si $n$ est pair:

  $$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{x}^n\cdot e^x=\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}(-t{)}^n\cdot e^{-t}$$ $$=\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{t^n}{e^t}$$ $$=\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\underset{\to +\mathrm{\infty }}{\underbrace{\frac{t^n}{e^t}}}}$$ $$=0$$

• Si $n$ est impair:

  $$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{x}^n\cdot e^x=\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}(-t{)}^n\cdot e^{-t}$$ $$=\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{-t^n}{e^t}$$ $$=\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{-1}{\underset{\to +\mathrm{\infty }}{\underbrace{\frac{t^n}{e^t}}}}$$ $$=0$$