Séries numériques

Démonstration

Soit $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $\mathbb{R}$ respectivement $\mathbb{C}$, $\mathbb{R}^n$ ou $\mathbb{C}^n$. On appelle série de terme général $x_n$ la suite des sommes partielles, définies par :

\[ S_n = \sum_{k=0}^n x_k \]

Dans certains cas on peut faire commencer la somme à 1 au lieu de 0.

Définition

On dit que la série de terme général $x_n$ est convergente respectivement divergente si la suite des sommes partielles $(S_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est convergente respectivement divergente. Si elle est convergente, on appelle somme de la série la limite, notée sous la forme :

\[ \sum_{k=0}^\infty x_k = \lim_{n\to\infty} S_n \]

Proposition

Soient $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ les termes généraux de deux séries convergentes. Alors la série de terme général $x_n + y_n$ converge, et

\[ \sum_{k=0}^\infty (x_k + y_k) = \sum_{k=0}^\infty x_k + \sum_{k=0}^\infty y_k \]

Si $\lambda \in \mathbb{R}$ (resp. $\lambda \in \mathbb{C}$) alors la série de terme général $\lambda x_n$ est convergente, et

\[ \sum_{k=0}^\infty \lambda x_k = \lambda \sum_{k=0}^\infty x_k \]

Proposition

Une série de terme général $x_{n}$ est convergente si et seulement si

\[ \forall\epsilon>0,\exists n\in\mathbb{N},\forall p,q\geq n,\left|\sum_{k=p}^{q}x_{k}\right|\leq\epsilon \]

Séries à terme positif

Proposition

Soient $x_{n},y_{n}$ les termes généraux de deux séries à termes positifs, tels que $x_{n}\leq y_{n}$ pour tout $n$. Si $\sum_{n}y_{n}$ converge alors $\sum_{n}x_{n}$ est convergente. Si $\sum_{n}x_{n}$ diverge, alors $\sum_{n}y_{n}$ diverge.

Corollaire

Soient $x_{n}>0$ et $y_{n}>0$ les termes généraux de deux séries. Si $x_{n}/y_{n}\to l\in\mathbb{R}_{>0}$, alors $\sum x_{n}$ converge si et seulement si $\sum y_{n}$ converge.

Proposition

Si $x_{n}\geq 0$ est le terme général d'une série dont les sommes partielles sont majorées par une constante $C>0$, alors cette série est convergente.

Théorème

Soit $f:[0,\infty[\rightarrow\mathbb{R}_{>0}$ une fonction décroissante pour $t\geq n_{0}$. Alors $\sum_{n=0}^{\infty}f(n)$ est convergente si et seulement si l'intégrale $\int_{0}^{\infty}f(t)dt$ converge.

Démonstration

Comme $f$ est décroissante, on a les inégalités suivantes pour tout $n$:

\[ f(k)\geq\int_{k}^{k+1}f(t)dt\geq f(k+1) \]

En sommant, on voit que

\[ \sum_{k=0}^{n-1}f(k)\geq\int_{0}^{n}f(t)dt\geq\sum_{k=1}^{n}f(k) \]

Proposition

Soit $x_{n}$ le terme général d'une série, $x_{n}>0$.

• Si $\lim n^{a}x_{n}$ existe et est finie, pour $a>1$, alors $\sum x_{n}$ converge.

• Si $\lim n^{a}x_{n}$ existe et est finie et non nulle, pour $a\leq 1$, alors $\sum x_{n}$ diverge.

Critères de convergence

Proposition

Soit $x_{n}$ le terme général d'une série à termes positifs.

• Supposons que $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{x_{n}}=l < 1$. Alors $\sum_{k}x_{k}$ converge.

• Supposons que soit $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{x_{n}}=l>1$, soit $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{x_{n}}=1^{+}$. Alors $\sum_{k}x_{k}$ diverge.

Démonstration

Supposons que $\sqrt[n]{x_{n}}\to l < 1$. Alors $\log(x_{n})/n\to L=\log(l) < 0$. Il existe donc $n_{0}\in\mathbb{N}$ tel que pour tout $n\geq n_{0}$, $\log(x_{n})/n\leq L/2$, si bien que $x_{n}\leq\exp(nL/2)=\exp(L/2)^{n}$. Comme $\sum\exp(L/2)^{n}$ converge on voit que $\sum x_{n}$ converge.
Supposons maintenant que soit $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{x_{n}}=l>1$, soit $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{x_{n}}=1^{+}$. Alors pour $n$ assez grand, $x_{n}\geq 1$, et donc $\sum x_{n}$ diverge.

Proposition

Soit $x_{n}$ le terme général d'une série à termes positifs.

• Supposons que $\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_{n}}=l < 1$. Alors $\sum_{k}x_{k}$ converge.

• Supposons que soit $\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_{n}}=l>1$, soit $\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_{n}}=1^{+}$. Alors $\sum_{k}x_{k}$ diverge.

Démonstration

Supposons que $\lim\frac{x_{n+1}}{x_{n}}=l < 1$. Alors il existe $\epsilon>0$ et $n_{0}\in\mathbb{N}$ tels que pour tout $n\geq n_{0}$, $\frac{x_{n+1}}{x_{n}}\leq l+\epsilon < 1$. Alors pour tout $k\in\mathbb{N}$, on a $x_{n_{0}+k}\leq x_{n_{0}}(l+\epsilon)^{k}$, d'où la convergence de $\sum x_{n}$ par comparaison avec la série géométrique $\sum(l+\epsilon)^{k}$.
Dans le second cas, on note que $x_{n+1}/x_{n}\geq 1$ pour $n$ assez grand, donc $(x_{n})$ ne tend pas vers zéro et donc $\sum x_{n}$ diverge.

Séries absolument convergentes

Démonstration

La série $\sum x_{n}$ est absolument convergente si $\sum|x_{n}|$ converge.

Proposition

Toute série absolument convergente est convergente.

Démonstration

Comme $\sum|x_{n}|$ converge elle vérifie le critère de Cauchy:

\[ \forall\epsilon>0,\exists n\in\mathbb{N},\forall q\geq p\geq n,\sum_{k=p}^{q}|x_{k}|\leq\epsilon \]

On en déduit que

\[ \forall\epsilon>0,\exists n\in\mathbb{N},\forall q\geq p\geq n,\left|\sum_{k=p}^{q}x_{k}\right|\leq\epsilon \]

et donc $\sum x_{k}$ satisfait le critère de Cauchy et donc converge.

Proposition

La somme de deux séries absolument convergentes est absolument convergente. Si $\sum x_{n}$ est absolument convergente, alors $\sum(\lambda x_{n})$ est absolument convergente pour tout $\lambda\in\mathbb{R}$ respectivement $\mathbb{C}$.

Théorème

Soient $\sum x_{n}$ et $\sum y_{n}$ deux séries absolument convergentes. Pour tout $n\geq 0$, on pose

\[ z_{n}=\sum_{k=0}^{n}x_{k}y_{n-k} \]

Alors la série $\sum z_{n}$ est absolument convergente, et

\[ \sum_{m=0}^{\infty}z_{m}=\left(\sum_{k=0}^{\infty}x_{k}\right)\left(\sum_{l=0}^{\infty}y_{l}\right) \]

Démonstration

Montrons d'abord que $\sum z_{n}$ est absolument convergente. On note que pour $n\in\mathbb{N}$,

$$ \sum_{m\geq n}|z_{m}| \leq \sum_{m\geq n}\left|\sum_{k+l=m}x_{k}y_{l}\right| $$ $$ \leq \sum_{k+l\geq n}|x_{k}|\cdot|y_{l}| $$

On remarque que si $k+l\geq n$ alors $k$ ou $l$ est plus grand que $p$, qu'on définit comme la partie entière de $n/2$. Ainsi

$$ \sum_{m\geq n}|z_{m}| \leq \sum_{k\geq p\ \text{ou}\ l\geq p}|x_{k}|\cdot|y_{l}| $$ $$ \leq \left(\sum_{k\geq p}|x_{k}|\right)\left(\sum_{l}|y_{l}|\right) + \left(\sum_{k}|x_{k}|\right)\left(\sum_{l\geq p}|y_{l}|\right) $$

Mais

$$\lim_{p\rightarrow\infty}\left(\sum_{k\geq p}|x_{k}|\right)=\lim_{p\rightarrow\infty}\left(\sum_{k\geq p}|y_{k}|\right)=0$$

le résultat suit.
Pour déterminer la somme des $z_{n}$, on note que pour tout $n\in\mathbb{N}$ on a

\[ \left|\left(\sum_{k=0}^{n}x_{k}\right)\left(\sum_{l=0}^{n}y_{l}\right)-\sum_{m=0}^{n}z_{m}\right| = \left|\sum_{\substack{k\leq n,l\leq n\\k+l>n}}x_{k}y_{l}\right| \]

Supposons que $n\geq 2p$. Si $k+l>n$ alors soit $k>p$, soit $l>p$. On a donc :

$$ \left|\sum_{\substack{k\leq n,l\leq n\\k+l>n}}x_{k}y_{l}\right| \leq \sum_{\substack{k\leq n,l\leq n\\k+l>n}}|x_{k}|\cdot|y_{l}| $$ $$ \leq \left(\sum_{k=0}^{\infty}|x_{k}|\right)\left(\sum_{l=p+1}^{\infty}|y_{l}|\right) + \left(\sum_{k=p+1}^{\infty}|x_{k}|\right)\left(\sum_{l=0}^{\infty}|y_{l}|\right) $$

Mais quand $p\to\infty$,

\[ \sum_{l=p+1}^{\infty}|y_{l}|\to 0 \quad \text{et} \quad \sum_{k=p+1}^{\infty}|x_{k}|\to 0 \]

et le résultat suit.

$\square$

Démonstration

Soit $\sum x_{n}$ une série. On dit que la série $\sum y_{n}$ est un rearrangement de $\sum x_{n}$ s'il existe une bijection $\sigma:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ telle que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $y_{n}=x_{\sigma(n)}$.

Proposition

Supposons que $\sum x_{n}$ est absolument convergente et que $\sum y_{n}$ est un rearrangement de $\sum x_{n}$. Alors $\sum y_{n}$ converge, et $\sum y_{n}=\sum x_{n}$.

Démonstration

Soit $\epsilon>0$, et soit $n_{0}$ tel que $\sum_{n\geq n_{0}}|x_{n}|\leq\epsilon$. On note $m_{0}=\max_{n\leq n_{0}}\sigma(n)$. On a alors pour $m\geq m_{0}$ :

\[ \left|\sum_{k=0}^{m}y_{k}-\sum_{l=0}^{n_{0}}x_{l}\right| = \left|\sum_{k=0}^{m}x_{\sigma(k)}-\sum_{l=0}^{n_{0}}x_{l}\right| \]

Mais $\{0,1,\cdots,n_{0}\}\subset\{\sigma(0),\sigma(1),\cdots,\sigma(m)\}$ puisque $m\geq m_{0}$, et on en déduit que :

$$ \left|\sum_{k=0}^{m}y_{k}-\sum_{l=0}^{n_{0}}x_{l}\right| = \left|\sum_{\substack{l\in\{\sigma(0),\cdots,\sigma(m)\}\\ l>n_{0}}}x_{l}\right| $$ $$\leq \sum_{\substack{l\in\{\sigma(0),\cdots,\sigma(m)\}\\ l>n_{0}}}|x_{l}|$$ $$ \leq \sum_{l>n_{0}}|x_{l}| $$ $$\leq \epsilon$$

Comme $\sum x_{l}$ est absolument convergente, on en déduit le résultat.

$\square$

Séries semi-convergentes

Définition

Une série est semi-convergente si elle est convergente mais pas absolument convergente.

Théorème du Critère d'Abel

Soient $(a_{n})$ et $(x_{n})$ deux suites, telles que :

• $(a_{n})$ est décroissante et tend vers $0$

• $(x_{n})$ est le terme général d'une série dont les sommes partielles $X_{n}=\sum_{k=0}^{n}x_{k}$ sont bornées en valeur absolue par une constante $C>0$

Alors la série $\sum a_{n}x_{n}$ est convergente.

Démonstration

On va utiliser la "transformation d'Abel" et le critère de Cauchy. Soit $p < q$, on a :

$$ \left|\sum_{k=p+1}^{q}a_{k}x_{k}\right| = \left|\sum_{k=p+1}^{q}a_{k}(X_{k}-X_{k-1})\right| $$ $$= \left|\sum_{k=p+1}^{q}a_{k}X_{k}-\sum_{l=p}^{q-1}a_{l+1}X_{l}\right| $$ $$= \left|\sum_{k=p+1}^{q-1}(a_{k}-a_{k+1})X_{k}+a_{q}X_{q}-a_{p+1}X_{p}\right|$$ $$\leq \sum_{k=p+1}^{q-1}(a_{k}-a_{k+1})|X_{k}|+|a_{q}X_{q}|+|a_{p+1}X_{p}| $$ $$ \leq C\sum_{k=p+1}^{q-1}(a_{k}-a_{k+1})+|a_{q}X_{q}|+|a_{p+1}X_{p}|$$ $$ \leq Ca_{p+1}+|a_{q}X_{q}|+|a_{p+1}X_{p}| $$

Comme chacun des termes dans la dernière expression tend vers $0$ quand $p$ et $q$ tendent vers l'infini, on peut conclure par le critère de Cauchy.

$\square$

Proposition

Soit $(a_{n})$ une suite qui décroît vers $0$. Alors la série $\sum(-1)^{n}a_{n}$ est convergente.