Primitives
Définition et propriétés principales
Définition
Soit \( f : [a, b] \to \mathbb{R} \) une fonction intégrable. Une primitive de \( f \) est une fonction de la forme
\[ F(x) = \int_{c}^{x} f(t) dt + C \]où \( c \in [a, b] \) et \( C \) est une constante.
Théorème
Soit \( f : [a, b] \to \mathbb{R} \) une fonction intégrable. Alors toute primitive de \( f \) est uniformément continue sur \( [a, b] \).
Démonstration
Comme \( f \) est intégrable, elle est bornée, et il existe donc une constante \( M \in \mathbb{R} \) telles que, pour tout \( t \in [a, b] \), \( |f(t)| \leq M \). Soit \( F \) une primitive de \( f \). Si \( x, y \in [a, b] \) alors
\[|F(y) - F(x)| = \left| \int_{x}^{y} f(t) dt \right| \leq \int_{x}^{y} |f(t)| dt \leq M |y - x| \]Donc pour tout \( \epsilon > 0 \), si on pose \( \alpha = \epsilon / M \), on voit que si \( |y - x| \leq \alpha \), alors \( |F(y) - F(x)| \leq \epsilon \), et \( F \) est donc uniformément continue.
$\square$
Théorème
Soit \( f : [a, b] \to \mathbb{R} \) une fonction continue. Alors toute primitive \( F \) de \( f \) est dérivable sur \( [a, b] \), de dérivée égale à \( f \).
Démonstration
Soit \( c \in [a, b] \), on va montrer que \( F \) est dérivable en \( c \) de dérivée \( f(c) \), c'est-à-dire que
\[\lim_{x \to c, x \neq c} \frac{F(x) - F(c)}{x - c} = f(c) \]Prenons par exemple \( x > c \). Comme \( f \) est continue, il existe \( y_x \in [c, x] \) tel que
\[\int_{c}^{x} f(t) dt = (x - c) f(y_x) \]Lorsque \( x \to c, y_x \to c \), et comme \( f \) est continue, \( f(y_x) \to f(c) \). On en déduit que
\[\lim_{x \to c, x \neq c} \frac{1}{x - c} \int_{c}^{x} f(t) dt = f(c) \]ce qui est le résultat annoncé.
$\square$
Corollaires
Soit \( I \) un intervalle, et soit \( f : I \to \mathbb{R} \) une fonction continue. Alors :
-
il existe des primitives de \( f \) sur \( I \)
-
si \( a \in I \), la fonction
\[x \mapsto \int_{a}^{x} f(t) dt\]est l'unique primitive de \( f \) qui s'annule en \( a \)
-
si \( F \) est n'importe quelle primitive de \( f \) sur \( I \), on a pour tout \( a, x \in I \)
\[\int_{a}^{x} f(t) dt = F(x) - F(a) \]
Démonstration
Pour le premier point, il suffit de remarquer que pour tout élément \( a \in I \), la fonction \( F_a : x \mapsto \int_{a}^{x} f(t) dt \) est une primitive de \( f \) sur \( I \). Cette primitive s'annule en \( a \). Si \( F \) est une autre primitive de \( f \) qui s'annule aussi en \( a \), on doit avoir \( (F - F_a)'(t) = 0 \) pour tout \( t \in I \), si bien que \( F - F_a \) est constante sur \( I \), et la valeur de cette constante doit être nulle puisque \( (F - F_a)(a) = 0 - 0 = 0 \). Finalement, le troisième point suit du fait que la différence entre deux primitives de \( f \) est une fonction dont la dérivée est nulle, et deux primitives de \( f \) diffèrent donc par une constante.
$\square$
Intégration par parties
Théorème
Soient \( a, b \in \mathbb{R}, a < b \), et soient \( u, v : [a, b] \to \mathbb{R} \) des fonctions de classe \( C^1 \). Alors
\[\int_a^b u(t)v'(t)dt = u(b)v(b) - u(a)v(a) - \int_a^b u'(t)v(t)dt \]Démonstration
On sait que \((uv)' = u'v + uv'\). En intégrant, on voit que
\[u(b)v(b) - u(a)v(a) = \int_a^b (u(t)v(t))'dt = \int_a^b u'(t)v(t) + u(t)v'(t)dt \]et le résultat s'en déduit.
$\square$
Changement de variables
Théorèmes
-
oient $I$ et $J$ deux intervalles non réduits à un point, et soit $\phi : J \to I$ une fonction de classe $C^1$. Soit $f : I \to \mathbb{R}$ une fonction continue, et soient $a, b \in J$. Alors
\[ \int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(x) dx = \int_a^b f(\phi(t)) \phi'(t) dt \] -
Si maintenant $\phi : J \to I$ est une bijection, et si $a', b' \in I$, alors
\[ \int_{a'}^{b'} f(x) dx = \int_{\phi^{-1}(a')}^{\phi^{-1}(b')} (f \circ \phi)(t) \phi'(t) dt \]
Démonstration
Le second point est simplement une reformulation du premier dans le cas
particulier où $\phi$ est une bijection. Quant au premier point, il suit
simplement du fait que $(F \circ \phi)' = \phi'(F' \circ \phi)$,
appliqué lorsque $F$ est une primitive de $f$.
Dans la pratique, on se passe souvent de la fonction $\phi$, et on note
simplement $x = \phi(t)$, où $\phi$ est la fonction de changement de
variable. On a alors formellement $dx = \phi'(t) dt$.
Intégration des développements limités
Théorème
Soit \( f : I \rightarrow \mathbb{R} \) une fonction de classe \( C^n \) et soit \( a, b \in I \). On a alors la formule exacte suivante :
\[f(b) = f(a) + \frac{b - a}{1!} f'(a) + \frac{(b - a)^2}{2!} f^{(2)}(a) + \cdots \] \[ + \frac{(b - a)^{n-1}}{(n - 1)!} f^{(n-1)}(a) + \int_a^b \frac{(b - t)^{n-1}}{(n - 1)!} f^{(n)}(t)dt \]Démonstration
On fait la preuve par récurrence sur \( n \). Pour \( n = 1 \) la formule s'écrit simplement
\[f(b) = f(a) + \int_a^b f'(t)dt \]
et on a vu plus haut que c'est bien le cas car \( f \) est une primitive
de \( f' \).
On suppose maintenant le résultat vrai pour \( n \), et on le montre
pour \( n + 1 \) par une intégration par parties sur le dernier terme,
qui montre bien que :
ce qui prouve le résultat.
$\square$
Corollaire
Avec les mêmes hypothèses que dans le théorème précédent, on a
\[f(b) = f(a) + \frac{b - a}{1!} f'(a) + \frac{(b - a)^2}{2!} f^{(2)}(a) + \cdots + \frac{(b - a)^{n-1}}{(n - 1)!} f^{(n-1)}(a) + (b - a)^{n-1}\epsilon(b) \]avec \(\lim_{t \to a} \epsilon(t) = 0\).
Démonstration
On a vu dans le chapitre précédent que comme la fonction \( t \mapsto \frac{(b - t)^{n-1}}{(n - 1)!} f^{(n)}(t) \) est continue, il existe un \( c \in [a, b] \) tel que
\[\int_a^b \frac{(b - t)^{n-1}}{(n - 1)!} f^{(n)}(t)dt = (b - a)\frac{(b - c)^{n-1}}{(n - 1)!} f^{(n)}(c) \]Le résultat s'en déduit.
$\square$
Théorème
Soit \( f : I \rightarrow \mathbb{R} \) une fonction qui admet en \( a \) le développement limité
\[f(t) = a_0 + a_1(t - a) + a_2(t - a)^2 + \cdots \] \[ + a_n(t - a)^n + (t - a)^n\epsilon(t) \]avec \(\lim_{t \to a} \epsilon(t) = 0\). Alors toute primitive \( F \) de \( f \) admet en \( a \) le développement limité :
\[F(t) = F(a) + a_0(t - a) + a_1\frac{(t - a)^2}{2} + a_2\frac{(t - a)^3}{3} + \cdots \] \[ + a_n\frac{(t - a)^{n+1}}{n + 1} + (t - a)^{n+1}\epsilon(t) \]avec \(\lim_{t \to a} \epsilon(t) = 0\).
Définition
Une fraction rationnelle est une fonction de la forme \[ f(t) = \frac{P(t)}{Q(t)}, \] où $P$ et $Q$ sont des polynômes. $f$ est alors définie en-dehors des zéros de $Q$, qu'on appelle pôles de $f$.
Décomposition des fractions rationnelles en éléments simples
Théorème de division euclidienne pour les polynômes
Soit $A, B \in \mathbb{R}[X]$. Il existe un unique couple $(Q, R) \in \mathbb{R}[X]^2$, avec $\deg(R) < \deg(B)$, tel que $A = BQ + R$.
Théorème de décomposition dans $\mathbb{C}[X]$
Soit $B \in \mathbb{C}[X]$ unitaire. Il existe des familles
$(a_1, a_2, \cdots, a_p) \in \mathbb{C}^p$
$(n_1, n_2, \cdots, n_p) \in (\mathbb{N}_{>0})^p$
telles que
$$ B = \prod_{i=1}^p (X - a_i)^{n_i} $$avec les $a_i$ deux à deux distincts. De plus ces familles sont uniquement déterminées à permutation près.
Théorème de décomposition dans $\mathbb{R}[X]$
Soit $B \in \mathbb{R}[X]$ unitaire. Il existe des familles
$(a_1, a_2, \cdots, a_p) \in \mathbb{R}^p$
$(n_1, n_2, \cdots, n_p) \in (\mathbb{N}_{>0})^p$
$(b_1, b_2, \cdots, b_q) \in \mathbb{R}^q$
$(c_1, c_2, \cdots, c_q) \in (\mathbb{R}_{>0})^q$
$(m_1, m_2, \cdots, m_q) \in (\mathbb{N}_{>0})^q$
telles que
$$ B = \left(\prod_{i=1}^p (X - a_i)^{n_i}\right) \left(\prod_{j=1}^q ((X - b_j)^2 + c_j^2)^{m_j}\right)$$avec les $a_i$ deux à deux distincts et les $(b_j, c_j)$ deux à deux distincts. De plus ces familles sont uniquement déterminées à permutation près.
Théorème de Bezout
Soient $B_1, B_2 \in \mathbb{R}[X]$ deux polynômes sans élément irréductible commun, et soit $A \in \mathbb{R}[X]$ avec $\deg(A) < \deg(B_1) + \deg(B_2)$. Il existe alors un unique couple $(A_1, A_2) \in (\mathbb{R}[X])^2$ avec $\deg(A_1) < \deg(B_1)$ et $\deg(A_2) < \deg(B_2)$ tel que $A = A_1 B_2 + A_2 B_1$.
Théorème
Soit $A,B\in\mathbb{R}[X]$, avec $\deg(A)<\deg(B)$. Écrivons la décomposition de $B$ en éléments irréductibles, sous la forme :
\[ B=\left(\prod_{i=1}^{p}(X-a_{i})^{n_{i}}\right)\left(\prod_{j=1}^{q}((X-b_{j})^{2}+c_{j}^{2})^{m_{j}}\right) \]
avec les $n_{i}$ et les $m_{j}$ strictement positifs et les facteurs
deux à deux disjoints.
Il existe des familles
-
$(d_{1,1}, d_{1,2}, \dots, d_{1,n_1}) \in \mathbb{R}^{n_1}, (d_{2,1}, d_{2,2}, \dots, d_{2,n_2}) \in \mathbb{R}^{n_2}, \dots, (d_{p,1}, d_{p,2}, \dots, d_{p,n_p}) \in \mathbb{R}^{n_p}$
-
$(e_{1,1}, e_{1,2}, \dots, e_{1,m_1}) \in \mathbb{R}^{m_1}, (e_{2,1}, e_{2,2}, \dots, e_{2,m_2}) \in \mathbb{R}^{m_2}, \dots, (e_{q,1}, e_{q,2}, \dots, e_{q,m_q}) \in \mathbb{R}^{m_q},$
-
$(f_{1,1}, f_{1,2}, \dots, f_{1,m_1}) \in (\mathbb{R}_{>0})^{m_1}, (f_{2,1}, f_{2,2}, \dots, f_{2,m_2}) \in (\mathbb{R}_{>0})^{m_2}, \dots,$
-
$(f_{q,1}, f_{q,2}, \dots, f_{q,m_q}) \in (\mathbb{R}_{>0})^{m_q},$
telles que
\[\frac{A}{B} = \sum_{i=1}^p \left( \sum_{k=1}^{n_i} \frac{d_{i,k}}{(X - a_i)^k} \right) + \sum_{j=1}^q \left( \sum_{l=1}^{m_j} \frac{e_{j,l} X + f_{j,l}}{((X - b_j)^2 + c_j^2)^l} \right) \]De plus ces familles sont uniquement déterminées à permutation près.
Démonstration
Pour montrer ce théorème, plusieurs étapes sont nécessaires, toutes
assez simples.
On décompose d'abord \(B = B_1 B_2\), où \(B_1\) est le produit des
éléments irréductibles de degré 1 et \(B_2\) le produit des éléments
irréductibles de degré 2.
On peut alors appliquer le théorème 6.6, et écrire \(A = A_2 B_1 + A_1
B_2\), où \(\deg(A_1) < \deg(B_1)\) et \(\deg(A_2) < \deg(B_2)\). On en
déduit que
où dans les deux fractions le dénominateur est de degré plus grand que
le numérateur.
Pour la première fraction, on écrit
et on applique à nouveau le théorème de Bezout pour obtenir que
\[A_1 = A_{12} (X - a_1)^{n_1} + A_{11} \left(\prod_{i=2}^p (X - a_i)^{n_i}\right) \]
avec \(\deg(A_{12}) < \sum_{i=2}^p n_i\) et \(\deg(A_{11}) < n_1\).
Ainsi,
et \(\deg(A_{11}) < n_1\). On peut donc écrire
\[A_{11} = \sum_{k=1}^{n_1} d_{1,k} (X - a_1)^{n_1-k} \]et on obtient finalement que
\[ \frac{A_{11}}{(X - a_1)^{n_1}} = \sum_{k=1}^{n_1} \frac{d_{1,k}}{(X - a_1)^k} \]En répétant le même argument avec \(a_2, a_3\), et jusqu'à \(a_p\), on obtient finalement que
\[ \frac{A_1}{B_1} = \sum_{i=1}^p \left( \sum_{k=1}^{n_i} \frac{d_{i,k}}{(X - a_i)^k} \right) \]Pour ce qui est du second terme, on note que
\[ B_2 = \prod_{j=1}^q ((X - b_j)^2 + c_j^2)^{m_j}, \]
et on applique à nouveau le
théorème de Bezout pour les polynômes
pour obtenir que
avec \(\deg(A_{21}) < 2m_1\) et \(\deg(A_{22}) < 2\sum_{j=2}^q m_j\).
On considère d'abord le premier terme. On applique le
théorème de Bezout pour les polynômes
, qui indique qu'on peut
écrire
En divisant, on en déduit que
\[ \frac{A_{21}}{((X - b_1)^2 + c_1^2)^{m_1}} = \frac{A'}{((X - b_1)^2 + c_1^2)^{m_1-1}} + \frac{e_{1,m_1} X + f_{1,m_1}}{((X - b_1)^2 + c_1^2)^{m_1}} \]
avec \(\deg(A') < 2m_1 - 2\).
On applique alors \(m_1 - 1\) fois le même argument basé sur le théorème
de Bézout aux autres termes, et on obtient que :
En répétant le même argument pour les autres éléments irréductibles de \(B_2\), on voit finalement que
\[ \frac{A_2}{B_2} = \sum_{j=1}^q \left( \sum_{l=1}^{m_j} \frac{e_{j,l} X + f_{j,l}}{((X - b_j)^2 + c_j^2)^l} \right) \]En ajoutant la décomposition obtenue pour \(A_1 / B_1\), on conclut la preuve du théorème
$\square$
Décomposition en éléments irréductibles dans $\mathbb{C}$
Théorème
Soit \(A, B \in \mathbb{C}[X]\), avec \(\deg(A) < \deg(B)\). Écrivons la décomposition de \(B\) en éléments irréductibles, sous la forme :
\[ B = \prod_{i=1}^p (X - a_i)^{n_i}, \]avec \( n_i \) strictement positifs et les \( a_i \) deux à deux distincts. Il existe des familles \((d_{1,1}, d_{1,2}, \dots, d_{1,n_1}) \in \mathbb{C}^{n_1}, (d_{2,1}, d_{2,2}, \dots, d_{2,n_2}) \in \mathbb{C}^{n_2}, \dots, (d_{p,1}, d_{p,2}, \dots, d_{p,n_p}) \in \mathbb{C}^{n_p} \), telles que
\[ \frac{A}{B} = \sum_{i=1}^p \left( \sum_{k=1}^{n_i} \frac{d_{i,k}}{(X - a_i)^k} \right). \]De plus ces familles sont uniquement déterminées à permutation près.