Limites
Limites
Cas 1 limite en \( + \infty \)
Si les nombres d'une fonction \( f(x) \) deviennent plus en plus grand si on prend \(x\) qui se rapproche d'une infinité
$$f\left( x\right) \rightarrow +\infty $$On dit que la limite de \( f(x) \) est plus l'infini
on note
ou
$$\lim_{x\rightarrow -\infty } f\left( x\right) =+\infty $$ou en générale
$$\lim_{x\rightarrow \infty } f\left( x\right) =+\infty $$Cas 2 limite en \( - \infty \)
Si les nombres de \( f(x) \) deviennent plus en plus petit si on prend \(x\) qui se rapproche d'une infinité
$$f\left( x\right) \rightarrow -\infty $$On dit que la limite de \(f(x)\) est moins l'infini
on note
ou
$$\lim_{x\rightarrow -\infty } f\left( x\right) =-\infty $$ou en générale
$$\lim_{x\rightarrow \infty } f\left( x\right) =-\infty $$Cas 3 limite en un point
Si les nombres de \( f(x) \) se rapprochent en un point si on prend \(x\) qui rapproche une infinité
$$f\left( x\right) \rightarrow a $$On dit que la limite de \( f(x) \) est a
on note
ou
$$\lim_{x\rightarrow -\infty } f\left( x\right) =a $$ou en générale
$$\lim_{x\rightarrow \infty } f\left( x\right) =a $$Limite à droite et a gauche
Une fonction \(f\) possède une limite en a si et seulement si \(f\) possède une limite \( a \) gauche et a droite de \(a\) et que les limites sont égales.
$$\lim_{x\rightarrow a^{+}} f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow a^{-}} f(x)=\lim_{x\rightarrow a} f\left( x\right)$$Les asymptotes
Asymptote horizontale
On note asymptote horizontale : A.H.
Définition
On dit que la courbe \(\mathscr{C}_{f} \) admet une asymptote horizontale (A.H.) d'équation \( y\ =\ l \) en \( +\infty \), si
$$ \lim_{x\rightarrow +\infty } f\left( x\right) =l $$A.H. est sous forme:
$$A.H.\ \equiv\ y$$nouveau signe: [ \( \equiv \) ]
On lit :l'asymptote horizontale a pour équation y
Asymptote verticale
On note asymptote verticale : A.V.
Définition
On dit que la courbe \(\mathscr{C}_{f} \) admet une asymptote verticale (A.V.) d'équation \( x\ =\ a \), si
$$ \lim_{x\rightarrow a } f\left( x\right) = \infty $$A.V. est sous forme:
$$A.V.\ \equiv\ x$$Asymptote Oblique
On note asymptote oblique : A.O.
Définition
On dit que la courbe \(\mathscr{C}_{f} \) admet une asymptote oblique (A.O.) d'équation \( y\ =\ ax\ +\ b \), en \( +\infty \) (respectivement en \( -\infty \)),si
$$\lim_{x\rightarrow +\infty } \left[ f\left( x\right) -\left( ax+b\right) \right] =0$$ $$ respectivement $$ $$ \lim_{x\rightarrow -\infty } \left[ f\left( x\right) -\left( ax+b\right) \right] =0$$A.O. est sous forme:
$$A.O.\equiv ax + b$$À retenir
On a jamais une A.H. et une A.O. pour une seul fonction.
Formules de Cauchy
La droite d'équation \( y\ =\ ax\ +\ b\) est une A.O. à \(\mathscr{C}_{f} \) si et seulement si:
-
\( \lim_{x\rightarrow \infty } f\left( x\right) =\infty \)
-
\( \lim_{x\rightarrow \infty } \frac{f\left( x\right) }{x} =a\ avec\ a\ \in \mathbb{R}^* \)
-
\( \lim_{x\rightarrow \infty } \left[ f\left( x\right) -ax\right] =b\ avec\ b\ \in \mathbb{R} \)
Terme du plus haut dégrée
À l'infini, une fonction polynôme a la même limite que son monôme de plus haut degré.
$$ \lim_{x\rightarrow \pm \infty } \left( a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}\right) =\lim_{x\rightarrow \pm \infty } a_{n}x^{n}\ ,avec\ a_{n}\neq 0 $$Théorème du plus haut dégrée d'une fonction rationelle
Definition
Soit
$$f(x)=\frac{a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}}{b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_{1}x+b_{0}} $$une fraction rationelle avec
$$\left( a_{n}\neq 0;\ b_{m}\neq 0\right)$$Alors la limite quand f(x) tend vers \( - \infty \) ou \( + \infty \) est égale a la limite du rapport du termes du plus haut degré du numérateur et du dénominateur.
$$\lim_{x\rightarrow \pm \infty } \frac{a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}}{b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_{1}x+b_{0}} =\lim_{x\rightarrow \pm \infty } \frac{a_{n}x^{n}}{b_{m}x^{m}}$$Demonstration
$$\lim_{x\rightarrow \pm \infty } f\left( x\right)$$ $$=\lim_{x\rightarrow \pm \infty } \frac{a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}}{b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_{1}x+b_{0}}$$ $$=\lim_{x\rightarrow \pm \infty } \frac{a_{n}x^{n}(\overbrace{1+\frac{a_{n-1}}{a_{n}x} +...+\frac{a_{1}}{a_{n}x^{n-1}} +\frac{a_{0}}{a_{n}x^{n}} )}^{\rightarrow 1} }{b_{m}x^{n}\underbrace{\left( 1+\frac{b_{m-1}}{b_{m}x} +...+\frac{b_{1}}{b_{m}x^{m-1}} +\frac{b_{0}}{b_{m}x^{m}} \right) }_{\rightarrow 1} } $$ $$=\lim_{x\rightarrow \pm \infty } \frac{a_{n}x^{n}}{b_{m}x^{n}} $$cqfd.
Limites des fonctions trigonométriques
Théorème d'encadrement
Soit \( f \), \( g \) et \( h \) trois fonctions définies sur l'intervalle ouvert \( I \) telles que:
$$h\left( x\right) \leq f(x)\leq g(x)$$Si
$$\lim_{x\rightarrow a} h(x)=\lim_{x\rightarrow a} g\left( x\right) =l$$avec
$$x\neq a\ \left( a\ réel\ ou\ infini\right) $$donc
$$\lim_{x\rightarrow a} f\left( x\right) =l$$Remarque
Le théorème d'encadrement est aussi apellée théorème de sandwich ou des gendarmes.
Théorème de comparaison par minoration ou majoration
Soient \( f \) et \( g \) deux fonctions définies sur un intervalle ouvert \( I \) et soit a une borne de \( I \) ou un réel appartenant à \( I \).
-
Si pour tout \( x \) de \( I \), \( f\left( x\right) \geqslant g\left( x\right) \) et si:
$$ \lim_{x\rightarrow a} g\left( x\right) =+\infty \ \Longrightarrow \ \lim_{x\rightarrow a} f\left( x\right) =+\infty $$ -
Si pour tout \( x \) de \( I \), \( f\left( x\right) \leqslant g\left( x\right) \) et si:
$$ \lim_{x\rightarrow a} g\left( x\right) =-\infty \ \Longrightarrow \ \lim_{x\rightarrow a} f\left( x\right) =-\infty $$
Théorème sur les limites
Limite d'une somme
| $Si\ f\ a\ pour\ limite$ | $l$ |
$l$ |
$l$ |
$+\infty$ |
$-\infty$ |
$+\infty$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $et\ si\ g\ a\ pour\ limite$ | $l^{\prime}$ |
$+\infty$ |
$-\infty$ |
$+\infty$ |
$-\infty$ |
$-\infty$ |
| $alors\ f\ +\ g\ a\ pour\ limite\ $ | $l\ +\ l^{\prime} $ |
$+\infty$ |
$-\infty$ |
$+\infty$ |
$-\infty$ |
$ f.i. $ |
Limite d'un produit
| $Si\ f\ a\ pour\ limite$ | $l$ |
$l>0$ |
$l>0$ |
$l <\ 0$ |
$l <\ 0$ |
$+\infty$ |
$+\infty$ |
$-\infty$ |
$0$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $ si\ g\ a\ pour\ limite$ | $l^{\prime}$ |
$+\infty$ |
$-\infty$ |
$+\infty$ |
$-\infty$ |
$+\infty$ |
$-\infty$ |
$-\infty$ |
$-\infty\ ou\ +\infty$ |
| $alors\ f\ \cdot\ g\ a\ pour\ limite$ | $l\ \cdot\ l^{\prime}$ |
$+\infty$ |
$-\infty$ |
$-\infty$ |
$+\infty$ |
$+\infty$ |
$-\infty$ |
$-\infty$ |
$ f.i. $ |
Limite d'un quotient
| $Si\ f\ a\ pour\ limite$ | $l$ |
$l$ |
$+\infty$ |
$+\infty$ |
$-\infty$ |
$-\infty\ ou\ +\infty$ |
$-\infty\ ou\ +\infty$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $et\ si\ g\ a\ pour\ limite$ | $l^{\prime }\neq 0$ |
$-\infty \ ou\ +\infty $ |
$l^{\prime}>0$ |
$l^{\prime} < 0$ |
$l^{\prime}>0$ |
$l^{\prime} < 0$ |
$ -\infty\ ou\ +\infty $ |
| $alors\ \frac{f}{g}\ a\ pour\ limite $ | $\frac{l}{l^{\prime}}$ |
$0$ |
$+\infty$ |
$+\infty$ |
$-\infty$ |
$+\infty$ |
$f.i.$ |
Limite d'un quotient
| $Si\ f\ a\ pour\ limite$ | $l> 0\ ou\ +\infty$ |
$l> 0\ ou\ +\infty$ |
$l < 0\ ou\ -\infty$ |
$l < 0\ ou\ -\infty$ |
$0$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $et\ si\ g\ a\ pour\ limite$ | $0^+$ |
$0^-$ |
$0^+$ |
$0^-$ |
$0$ |
| $alors\ \frac{f}{g}\ a\ pour\ limite$ | $+\infty$ |
$-\infty$ |
$-\infty$ |
$+\infty$ |
$f.i.$ |
Remarque
f.i. signifie forme indéterminée