Intégrales impropres
Fonction non bornées sur un intervalle borné
Définition
Soit $a,b$ tels que $[a,b[\subset I.$ Supposons que $f$ est integrable sur tous les intervalles de la forme $[a,x],$ pour $x\in[a,b[.$ Si la limite
\[\lim_{x\to b^{-}}\int_{a}^{x}f(t)dt\ \]existe et est finie, on dit que l'integrale impropre de $f$ entre $a$ et $b$ est convergente, et on note
\[\int_{a}^{b}f(t)dt=\lim_{x\to b^{-}}\int_{a}^{x}f(t)dt\ \]Si la limite n'existe pas ou est infinie, on dit que l'integrale impropre de $f$ entre $a$ et $b$ est divergente.
Définition
Si $\int_{a}^{c}f(t)dt$ et $\int_{c}^{b}f(t)dt$ convergent toutes deux, on dit que l'integrale de $f$ sur $]a,b[$ converge, et on note
\[\int_{a}^{b}f(t)dt=\int_{a}^{c}f(t)dt+\int_{c}^{b}f(t)dt\ \]Dans le cas contraire, on dit que l'integrale de $f$ sur $]a,b[$ diverge.
Fonctions sur un intervalle non borné
Définition
Soit $f:[a,\infty[\to\mathbb{R}$ une fonction integrable sur tous les intervalles de la forme $[a,x]$ pour $x>0$. Si
\[\lim_{x\to\infty}\int_{a}^{x}f(t)dt\]existe et est finie, on dit que l'integrale impropre
\[\int_{a}^{\infty}f(t)dt\]est convergente, et on note
\[\int_{a}^{\infty}f(t)dt=\lim_{x\to\infty}\int_{a}^{x}f(t)dt\ \]Dans le cas contraire, on dit que l'integrale est divergente.
Définition
Si $\int_{-\infty}^{c}f(t)dt$ et $\int_{c}^{\infty}f(t)dt$ convergent toutes deux, on dit que l'integrale de $f$ sur $\mathbb{R}$ converge, et on note
\[\int_{-\infty}^{\infty}f(t)dt=\int_{-\infty}^{c}f(t)dt+\int_{c}^{\infty}f(t)dt\ \]Dans le cas contraire, on dit que l'integrale de $f$ sur $\mathbb{R}$ diverge.
Exemples importants
Théorème
L'integrale impropre
\[\int_{0}^{1}\frac{dt}{t^{\alpha}}\]est convergente pour $\alpha < 1 $ et divergente pour $\alpha\geq 1$.
Démonstration
Il suffit de prendre une primitive de $t^{-\alpha}$. Pour $\alpha\neq 1$
cette primitive est $t^{1-\alpha}/(1-\alpha)$, qui tend vers $0$ quand
$t\to 0^{+}$ pour $\alpha<1$, et vers $-\infty$ quand $\alpha>1$. Pour
$\alpha=1$ la primitive est $\log(t)$, qui tend vers $-\infty$ quand
$t\to 0^{+}$.
On peut bien s\^ur remplacer dans cet enonce la borne superieure
d'integration $1$ par n'importe quel nombre dans $]0,\infty[$. De meme
on peut etudier la convergence de l'integrale en $a$ de
$1/(t-a)^{\alpha}$, le resultat est le meme.
On a une situation complementaire pour la convergence de l'integrale sur
$[0,\infty[$.
$\square$
Théorème
L'integrale impropre
\[\int_{1}^{\infty}\frac{dt}{t^{\alpha}}\]est convergente pour $\alpha > 1$ et divergente pour $\alpha\leq 1$.
Démonstration
Comme pour le théorème précédent, il suffit de considerer une primitive de $t\to t^{-\alpha}$.
$\square$
Critères de convergence pour les fonctions positives
Théorème
Soit $f:[a,b[\to\mathbb{R}_{\geq 0}$, integrable sur tout intervalle de la forme $[a,x]$ pour $x\in[a,b[$. Alors l'integrale impropre $\int_{a}^{b}f(t)dt$ est convergente si et seulement si la fonction $x\mapsto\int_{a}^{x}f(t)dt$ est bornée.
Démonstration
Comme $f$ est à valeurs positives, la fonction $x\mapsto\int_{a}^{x}f(t)dt$ est croissante, donc elle admet une limite en $b$ si et seulement si elle est bornée.
$\square$
Théorème
Soient $f,g:[a,b]\to\mathbb{R}_{\geq 0}$ deux fonctions intégrables sur tout intervalle de la forme $[a,x]$ avec $x\in[a,b[$. Supposons que $0\leq f(t)\leq g(t)$ pour tout $t\in[a,b[$. Alors :
-
si $\int_{a}^{b}g(t)dt$ converge, il en est de meme pour $f$, et de plus
\[\int_{a}^{b}f(t)dt\leq\int_{a}^{b}g(t)dt\ \] -
si $\int_{a}^{b}f(t)dt$ diverge, il en est de meme pour $g$.
Démonstration
On a pour tout $x\in[a,b[$
\[\int_{a}^{x}f(t)dt\leq\int_{a}^{x}g(t)dt\ \]Si $\int_{a}^{b}g(t)dt$ converge alors la fonction $x\to\int_{a}^{x}g(t)dt$ est bornée, donc il est en de même pour $f$ et donc $\int_{a}^{b}f(t)dt$ converge. On a pour tout $x\in[a,b[$
\[\int_{a}^{x}f(t)dt\leq\int_{a}^{x}g(t)dt\ \]
et en passant a la limite $x\to b^{-}$ on obtient l'inegalite entre les
integrales de $a$ a $b$.
Le second enonce est la contraposee du premier, et lui est donc
equivalent.
On a un resultat analogue pour les intervalles de la forme $]a,b]$, avec
$a$ fini ou $a=-\infty$.
On peut donner tout de suite une application pour les fonctions de la
forme $\log(t)/t^{\alpha}$.
Théorème
Soit $\alpha>0$. Alors :
-
$\int_{0}^{1}\frac{\log(t)}{t^{\alpha}}dt$ converge si et seulement si $\alpha < 1$
-
$\int_{1}^{\infty}\frac{\log(t)}{t^{\alpha}}dt$ converge si et seulement si $\alpha > 1$.
Démonstration
Pour le premier point, la question de la convergence se pose seulement
en $0$. Supposons d'abord que $\alpha < 1 $, et soit
$\beta\in]\alpha,1[$. On a vu plus haut que comme $\beta < 1 $,
$\int_{0}^{1}\frac{1}{t^{\beta}}dt$ converge. De plus, $\lim_{t\to
0}\log(t)t^{\beta-\alpha}=0$. On en déduit qu'il existe $M>0$ tel que
pour tout $t\geq M$,
$\frac{|\log(t)|}{t^{\alpha}}=\frac{1}{t^{\beta}}\times|\log(t)t^{\beta-\alpha}|
\leq\frac{1}{t^{\beta}}$. Le théorème 3.2 assure alors que
$\int_{0}^{1}\frac{\log(t)}{t^{\alpha}}dt$ est convergente.
De meme, si $\alpha>1$, on prend $\beta\in]1,\alpha[$. On a vu que
$\int_{0}^{1}\frac{1}{t^{\beta}}dt$ diverge, et $\lim_{t\to
0}\log(t)t^{\beta-\alpha}=\infty$. On en déduit par le même raisonnement
que $\int_{0}^{1}\frac{\log(t)}{t^{\alpha}}dt$ est divergente.
Pour $\alpha=1$, on fait une integration par partie : pour tout
$x\in]0,1[$,
si bien que
\[\int_{x}\frac{\log(t)}{t}dt=\frac{1}{2}[\log(t)^{2}]^{1}_{x}=-\frac{\log(x)^{2}}{2}\ \]Il suit que $\int_{0}^{1}\frac{\log(t)}{t}dt$ diverge.
$\square$
Absolue convergence
Théorème
Soit $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ integrable sur tout intervalle $[a,x]$ pour $x\in[a,b[$. Supposons que $\int_{a}^{b}|f(t)|dt$ est convergente. Alors $\int_{a}^{b}f(t)dt$ est convergente, et
\[\left|\int_{a}^{b}f(t)dt\right|\leq\int_{a}^{b}|f(t)|dt\ \]Démonstration
Pour tout $t\in[a,b[$, on pose
\[f_{+}(t)=\max(f(t),0)\ ,\ \ f_{-}(t)=\max(-f(t),0)\ \]On note que $f_{+}$ et $f_{-}$ sont a valeurs positives, que $f=f_{+}-f_{-}$ et que $|f|=f_{+}+f_{-}$. Comme $\int_{a}^{b}|f(t)|dt$ converge et que $f_{+}\leq|f|$, $\int_{a}^{b}f_{+}(t)dt$ converge, et de meme pour $f_{-}$. Comme $f=f_{+}-f_{-}$, on montre alors en se ramenant a la definition de la convergence (par la limite quand $x\to b$ de l'integrale entre $a$ et $x$) que $\int_{a}^{b}f(t)dt$ converge.
$\square$
Définition
Soit $f:[a,b[\to\mathbb{R}$. On dit que $\int_{a}^{b}f(t)dt$ est absolument convergente si $\int_{a}^{b}|f(t)|dt$ est convergente.
Équivalences
Théorème
Soient $f,g:[a,b[\to\mathbb{R}_{\geq 0}$ deux fonctions a valeurs positives, integrable sur tout intervalle de la forme $[a,x]$ avec $x\in[a,b[$, telles que $f\sim g$ en $b$. Alors $\int_{a}^{b}f(t)dt$ converge si et seulement si $\int_{a}^{b}g(t)dt$ converge.
Démonstration
Par definition de l'equivalence en $b$, appliquée pour $\epsilon=1/2$, il existe $c\in[a,b[$ tel que pour tout $t\geq c$ on a
\[\frac{f(t)}{2}\leq g(t)\leq\frac{3f(t)}{2}\ \]
Supposons que $\int_{a}^{b}f(t)dt$ converge. Alors
$\int_{a}^{b}3f(t)/2dt$ converge et, d'apres le théorème 3.2,
l'integrale de $g$ sur $[c,b[$ converge, donc l'integrale de $g$ sur
$[a,b[$ converge.
La réciproque se montre de la même manière.
$\square$