Développement en séries de Taylor
Formule de Taylor avec reste intégral
Proposition
Soit $I$ un intervalle, soit $f, g : I \to \mathbb{R}$ deux fonctions de classe $C^1$, et soit $a, b \in I$. Alors :
\[ \int_a^b f'(t)g(t)dt = [f(t)g(t)]_a^b - \int_a^b f(t)g'(t)dt \]où
\[ [f(t)g(t)]_a^b = f(b)g(b) - f(a)g(a) \]Démonstration
On note que
\[ (f(t)g(t))' = f'(t)g(t) + f(t)g'(t) \]et on intègre entre $a$ et $b$.
$\square$
Théorème
Soit $I \subset \mathbb{R}$ un intervalle, et soit $f : I \to \mathbb{R}$ une fonction $n + 1$ fois dérivables. Alors pour tout $a, x \in I$ on a
\[ f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x - a)^k + \int_a^x \frac{(x - t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t)dt \]Démonstration
On va montrer cette formule par récurrence sur $n$. On vérifie d'abord la formule pour $n = 0$, qui s'écrit sous la forme :
\[ f(x) = \frac{f(a)}{1} (x - a)^0 + \int_a^x f'(t) dt \]On admet maintenant la formule pour $n$, et on va la montrer pour $n + 1$. On a donc :
\[ f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x - a)^k + \int_a^x \frac{(x - t)^n}{n!} f^{n+1}(t) dt \]On intègre par parties le terme intégral, en dérivant le terme $f^{n+1}(t)$ et en intégrant le terme $\frac{(x - t)^n}{n!}$, dont une primitive est $-\frac{(x - t)^{n+1}}{(n + 1)!}$. On a donc
$$ \int_a^x \frac{(x - t)^n}{n!} f^{n+1}(t) dt $$ $$ = \left[ -\frac{(x - t)^{n+1}}{(n + 1)!} f^{(n+1)}(t) \right]_a^x + \int_a^x \frac{(x - t)^{n+1}}{(n + 1)!} f^{(n+2)}(t) dt $$On vérifie directement que
\[ \left[ -\frac{(x - t)^{n+1}}{(n + 1)!} f^{(n+1)}(t) \right]_a^x = \frac{f^{(n+1)}(a)}{(n + 1)!} \]Le résultat suit.
$\square$
Formule de Taylor-Lagrange
Théorème
Soit $f : I \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction de classe $C^{n+1}$, et soit $a, b \in I$ avec $a < b$. Alors il existe $c \in [a, b]$ tel que
\[ f(b) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (b - a)^k + \frac{(b - a)^{n+1}}{(n + 1)!} f^{(n+1)}(c) \]Démonstration
Comme on a déjà vu la formule avec reste intégral, il suffit de montrer qu'il existe $c \in [a, b]$ tel que :
\[ \int_a^b \frac{(x - t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t) dt = \frac{(b - a)^{n+1}}{(n + 1)!} f^{(n+1)}(c) \]
Mais on peut interpréter l'expression de gauche comme un barycentre des
valeurs de $f^{(n+1)}(t)$ pour $t$ dans $[a, b]$.
Mais
Il suit que
\[ \int_a^b \frac{(x - t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t) dt = \frac{(b - a)^{n+1}}{(n + 1)!} m \]
où $m$ est compris entre le minimum et le maximum des valeurs de $f$ sur
$[a, b]$.
Comme $f$ est continue, le théorème des valeurs intermédiaires implique
que $m = f(c)$, pour un certain $c \in [a, b]$.
$\square$
Formule de Taylor-Young
Théorème
Soit $f : I \to \mathbb{R}$ une fonction de classe $C^{n+1}$, et soit $a \in I$. On a alors
\[ f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x - a)^k + O((x - a)^{n+1}). \]Démonstration
Ceci suit directement du théorème de Taylor-Lagrange, puisque $f$ est de classe $C^{n+1}$, donc $f^{(n+1)}$ est continue, et elle est donc bornée au voisinage de $a$.
Intégration de séries de Taylor
Théorème
Soit $I \subset \mathbb{R}$ un intervalle, $a \in I$, et $f : I \to \mathbb{R}$ une fonction de classe $C^{n+1}$, admettant en $a$ le développement en série de Taylor :
\[ f(x) = \sum_{k=0}^{n} a_k (x - a)^k + O((x-a)^{n+1}) \]Soit $F$ une primitive de $f$, c'est-à-dire que $F' = f$. Alors $F$ admet la série de Taylor suivante en $a$ :
\[ F(x) = F(a) + \sum_{k=0}^{n} \frac{a_k}{k+1} (x - a)^{k+1} + O((x - a)^{n+2}). \]Démonstration
On peut écrire la série de Taylor de $f$ sous la forme
\[ f(x) = \sum_{k=0}^{n} a_k (x - a)^k + r_n(x) \]
et par définition du $O$ il existe $\alpha > 0$ et $C > 0$ tel que, pour
tout $x \in I$ avec $|x - a| \leq \alpha$, $|r_n(x)| \leq C(x -
a)^{n+1}$.
En intégrant cette égalité, on obtient que
avec
\[ r_{n+1}(x) = \int_a^x r_n(t) dt \]On a donc
\[ |r_{n+1}(x)| \leq \left| \int_a^x C(t - a)^{n+1} dt \right| \leq \frac{C}{n+2} (x - a)^{n+2} \]et le résultat suit.
$\square$