Eléments d'arithmétique
Multiples d'un entier naturel
L'ensemble des entiers naturels est noté \( \mathbb{N} \)
$$ \mathbb{N}=\left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,...\right\} $$Définition
Soit \( a \) un entier naturel. Un multiple de \( a \) est un entier naturel de la forme \( a \cdot n \) , où \( n \) est un entier. L'ensemble des multiples de a est noté : \( a \cdot \mathbb{N} \).
Pair
Tout entier pair est de la forme \( 2 \cdot n \), où \( n \) est un entier.
Impair
Tout entier impair est de la forme \( 2n+1 \) ou \( 2n-1 \), où \( n \) est un entier
Diviseurs d'un entier naturel
Définition
Soit \( a \) et \( b \) deux entiers naturels. On dit que \( b \) est un diviseur de \( a \) ou encore que \( b \) divise \( a \) (on écrit \( b\ |\ a \)) si et seulement si \( a \) est un multiple de \( b \).
Définition
L'ensemble des diviseurs d'un entier naturel \( a \) est noté Div(\( a \)).
Caractères de divisibilité
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Un entier naturel est divisible par 2 si et seulement si il se termine par 0,2,4,6 ou 8
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Un entier naturel est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
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Un entier naturel est divisible par 4 si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.
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Un entier naturel est divisible par 5 si et seulement si il se termine par 0 ou par 5.
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Un entier naturel est divisible par 6 si et seulement si il est divisible par 2 et par 3.
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Soit \( N \) un entier naturel, \( u \) son dernier chiffre et \( n \) l'entier obtenu en biffant \( u \) dans N. (Par exemple, si \( N=364 \) , alors \( u=4 \) et \( n = 36\)). Alors \( N \) est divisible par 7 si et seulement si \(n - 2u \) est divisible par 7.
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Un entier naturel est divisible par 8 si et seulement si le nombre formé par les 3 derniers chiffres est divisible par 8.
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Un entier naturel est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9
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Un entier naturel est divisible par 10 si et seulement si il se termine par 0.
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Un entier naturel est divisible par 11 si et seulement si la somme alternée de ses chiffres est divisible par 11.
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Un entier naturel est divisible par 25 si et seulement si il se termine par 00, par 25, par 50 ou par 75.
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Un entier naturel est divisible par 100 ssi il se termine par 00.
Nombres premiers et factorisation première
Définition
Un nombre premier est un entier naturel qui \( a \) exactement 2 diviseurs 1 et lui-même et qui est plus grand que 1.
Remarque
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1 n'est pas un nombre premier car \( Div(1) = {1} \). (1 a un seul diviseur.)
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0 n'est pas un nombre premier car \( Div(0) = {\mathbb{N}} \). (0 a une infinité de diviseurs.)
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2 est le seul nombre premier pair.
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Il y a une infinité de nombres premiers.
Définition
Les entiers \( > \) 2 qui ne sont pas premiers sont dits composés.
Crible d'Eratosthène
Crible d'Eratosthène est une méthode permettant de trouver assez vite tous les nombres premiers jusqu'à un entier naturel \( M \) donné.
On écrit la liste de tous les entiers de 2 jusqu'à \( M \).
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On garde \( p_{1}=2 \) et on élimine tous les autres multiples de 2
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On garde \( p_{2}=3 \) qui est le premier élément non éliminé après 2 et on élimine tous les autre multiples de 3.
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On garde \( p_{3}=5 \) qui est le premier élément non éliminé après 3 et on élimine tous les autre multiples de 5.
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On répète le procédé aussi longtemps que \( p_{k} \leqslant \sqrt{M} \).
Les nombres non éliminés sont les nombres premiers \( \leqslant M \)
Factorisation première
Si l'on décompose un entier naturel \( n\geqslant 2 \) en autant de facteurs entiers diffèrent de 1 que possible, alors tous ces facteurs seront des nombres premiers. On obtient ainsi la factorisation première (f.p.) ou décomposition en facteurs premiers de \( n \).
Théorème fondamental de l'arithmétique
Tout entier naturel \( \geqslant 2 \) admet une factorisation première unique.